violananni
violananni - Ominide - 2 Punti
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CIAO a tutti è la prima volta che mi iscrivo in un forum espero rispettare il regolamento per bene :)
volevo fare due domande
1)dato il seguente polinomio:
p(x)=x^4-4x^3+x^2+8x-6
è irriducibile in Z11 ?
nn so se è giusto come ho fatto io ma nn credo sigh.. cmq ho ridotto i coefficienti modulo (11) e facendo cosi viene il polinomio
p(x)=x^4+7x^3+x^2+8x+5
a questo punto cerco la possibile radice razionale e trovo che è 1.
faccio la divisione euclidea tra p(x)e x-1 e mi viene x^3+8x^2+9x+17.
a questo punto vedo che il polinomio non ha radici razionali quindi se è riducibile in Z11 deve essere il prodotto di due polinomi irriducibili di grado 2 e 1.Applico il metodo della forza bruta e vedo che nn ha soluzione quindi è irriducibile..... nn so se ho fatto bene i calcoli
2)consideriamo i due seguenti sottinsiemi di R^3
A<(1,1,0),(1,2,3)> e B<(3,1,1),(0,1,1,),(0,0,1)>
Completare A ad una base C di R^3 e
data l'applicazione lineare L:R^3-R^3 definita da l(x,y,z)=(x+y,z,z) scrivere la matrice associata alla base C in partenza alla base B in arrivo.
qui io Ho completato A con la base C<0,1,0> è giusto ? arrivata qui poi mi blocco perchè mi viene con una base formata da un solo vettore la matrice associata e una matrice di una sola rigaaa !! :((( cosa sbagliooo ??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, andiamo con ordine.

1) Il polinomio è
[math]p(x)=x^4-4x^3+x^2+8x-6[/math]
la cui riduzione in
[math]\mathbb{Z}_{11}[/math]
risulta
[math]p_{11}(x)=x^4+7x^3+x^2+8x+5[/math]

Ora, andando a sostituire si vede facilmente che

[math]p_{11}(1)=1+7+1+8+5=22\equiv 0[/math]
[math]p_{11}(3)=81+189+9+24+5\equiv 4+2+9+2+5=22\equiv 0[/math]

Ne segue che

[math]p_{11}(x)=(x-1)(x-3)(x^2+ax+b)\equiv \\ (x+10)(x+8 )(x^2+ax+b)[/math]

Cerchiamo i valori di a,b che ci permettano di scrivere il nostro polinomio originale. Facendo un po' di prodotti ed uguagliando i coefficienti delle potenze note si ha

[math]p_{11}(x)=(x^2+7x+3)(x^2+ax+b)=\\
x^4+(a+7)x^3+(b+7a+3)x^2+(7b+3a)x+3b[/math]

da cui

[math]a+7=7,\ b+7a+3=1,\ 7b+3a=8,\ 3b=5[/math]

dove le precedenti sono tutte equazioni congruenziali. Ne segue che

[math]3b=5\ \Rightarrow\ b=9[/math]

e sostituendo nelle altre

[math]a+7=7,\ 7a=0,\ 3a=0\ \Rightarrow\ a=0[/math]

Pertanto la decomposizione del polinomio risulta

[math]p_{11}(x)=(x+10)(x+8 )(x^2+9)[/math]

Come è facile osservare il polinomio di secondo grado rimasto risulta irriducibile su
[math]\mathbb{Z}_{11}[/math]

Aggiunto 20 minuti più tardi:

2) Ci sono molti modi per completare un insieme di vettori ad una base e possono venire fuori vari tipi di base. La tua scelta è corretta (lo si vede inserendo i vettori di A e quello che ha determinato in una matrice di ordine 3 e calcolandone il determinante, il quale risulta diverso da zero, il che implica l'indipendenza lineare dei tre vettori e quindi il fatto che essi formino necessariamente una base). Ne segue che le due basi sono

[math]C=\{(1\ 1\ 0),\ (1\ 2\ 3),\ (0\ 1\ 0)\}[/math]
[math]B=\{(3\ 1\ 1),\ (0\ 1\ 1),\ (0\ 0\ 1)\}[/math]

Scriviamo ora le immagini dei vettori di C (attraverso L) come combinazione dei vettori di B: abbiamo, indicando con
[math]x_i[/math]
le incognite
[math]L(1,1,0)=(2,0,0)=x_1(3,1,1)+x_2(0,1,1)+x_3(0,0,1)=\\(3x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3)[/math]

da cui

[math]x_1=2/3,\ x_2=-2/3,\ x_3=0[/math]

Analogamente

[math]L(1,2,3)=(3,3,3)=x_1(3,1,1)+x_2(0,1,1)+x_3(0,0,1)=\\(3x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3)[/math]

da cui

[math]x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=0[/math]

e infine

[math]L(0,1,0)=(1,0,0)=x_1(3,1,1)+x_2(0,1,1)+x_3(0,0,1)=\\(3x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3)[/math]

da cui

[math]x_1=1/3,\ x_2=-1/3,\ x_3=0[/math]

Pertanto, considerando le tre soluzioni trovate e ponendole (nell'rodine scritto) come colonne di una matrice, si ha

[math]L=\left(\begin{array}{ccc}
2/3 & 1 & 1/3 \\ -2/3 & 2 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0
\end{array}\right)[/math]
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