dong
dong - Erectus - 63 Punti
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ciao a tutti qualcuno mi può aiutare con la seguente funzione?
3^-x + valore assoluto di x.
devo trovare
1.dominio
2.continuità e derivabilità
3.codominio
4.regioni di convessità

Aggiunto 19 ore 33 minuti più tardi:

grazie per l'esercizio..avevo fatto bene la prima parte ma non mi trovo con il calcolo del codominio.
ho posto prima f'(x)>0 e ho fatto i grafici per vedere quando la funz è crescente e decrescente, poi ho disegnato il quadro globale e ho calcolato il codominio ma mi son persa (oppure ho sbagliato qualche calcolo).

Aggiunto 53 secondi più tardi:

grazie per l'esercizio..avevo fatto bene la prima parte ma mi son persa con il calcolo del codominio

Aggiunto 20 secondi più tardi:

grazie

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Grazie per esercizio avevo fatto bene la prima parte ma mi son persa con il calclo del codominio op ho sbagliato qualche calcolo

Aggiunto 52 secondi più tardi:

grazie

Aggiunto 52 secondi più tardi:

scusa se ti ho inviato più volte la risp ma ho avuto un problemino con il pc
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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[math]f(x)=3^{-x}+|x|=\left\{ \begin{array}{c} 3^{-x}+x \ \ \ x\ge0\\
3^{-x}-x \ \ \ x<0 \end{array} \right\}[/math]

Intanto è definita su tutto
[math]\mathbb{R}[/math]
, inoltre è somma di funzioni continue, quindi è continua. Non si può dire lo stesso in generale per la derivabilità in quanto
[math]h(x)=|x|[/math]
non è derivabile in 0.
Puoi verificare tu stessa che non esiste
[math]\lim_{x\to0}f'(x)[/math]
infatti si ha:
[math]f'(x)=\left\{ \begin{array}{c} -3^{-x}log3+1 \ \ \ x\ge0\\
3^{-x}log3-1 \ \ \ x<0 \end{array} \right\}[/math]

e
[math]\lim_{x\to0^-}f'(x)=1-log3[/math]

[math]\lim_{x\to0^+}f'(x)=-1-log3[/math]

Quindi non esiste la derivata in
[math]x=0[/math]
.
Potevi concludere la stessa cosa penso (qualcuno mi corregga) osservando che somma di funzioni derivabili è derivabile quindi sarebbe dovuto essere
[math]f(x)-3^{-x}=|x|[/math]
derivabile ma ciò come abbiamo detto non è vero.
Concludendo
[math]f(x)[/math]
è derivabile in
[math](-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/math]

Codominio:

Osserva che
[math]f(x)>0 \ \ \forall x\in \mathbb{R}[/math]
. Questa osservazione non è banale. Puoi concluderlo subito per i valori di ascissa positiva..per quelli di ascissa negativa se ti fai un piccolo grafico vedi che
[math]g(x)=3^-x[/math]
sale prima che possa incontrare la retta
[math]h^-(x)=-x[/math]
.
Poi la funzione è continua e
per
[math]x\rightarrow-\infty \ \ \ f(x)\rightarrow +\infty[/math]
mentre
per
[math]x\rightarrow+\infty \ \ \ f(x)\rightarrow 0^+[/math]

essa assumerà tutti i valori compresi nell'intervallo
[math](0;+\infty)[/math]
.
Per la concavità/convessità è sufficiente studiare la derivata seconda, in particolare la sua positività in modo da individuare i punti (il punto) in cui
[math]f(x)[/math]
cambia concavità.
Spero di esserti stato utile. Se qualcosa non ti torna chiedi pure..

Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (20-01-13 19:56, 3 anni 10 mesi 23 giorni )
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Piccola precisazione:

Poichè si dimostra che
[math] |x| [/math]
non è derivabile in zero (cioè per il punto che annulla l'argomento del valore assoluto), in generale si può dire che se abbiamo una funzione composta in cui è presente anche il valore assoluto i punti che annullano l'argomento del valore assoluto potrebbero essere punti di non derivabilità e bisogna verificarlo! In questo caso il valore che annulla la derivata prima è x=0, se avessimo avuto per esempio
[math] |x-1| [/math]
, allora si doveva studiare la derivabilità nel punto x=1.
Infatti se nn avessi spezzato la funzione, e avessi fatto la derivata, la derivata di valore assoulto è (val.ass. di x fratto x), quindi avresti avuto una x a denominatore, e quindi il dominio della derivata prima sarebbe stato tutti gli x tranne x=0. =)
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