miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. C è un esercizio sulle serie si funzioni che non riesco a capire come risolvere. Qualcuno potrebbe darmi una mano?? L esercizio è il seguente.

Determinare gli insiemi di continuità e derivabilità di f(x) e calcolarne la derivata.

[math]f(x)= \sum_{k=1}^ \infty \frac{(1-e^x)^n}{n^{\frac{3}{2}}} [/math]

Grazie a tutti in anticipo.

Aggiunto 3 ore 18 minuti più tardi:

ok ora provo, però prima potresti spiegarmi un paio di cose sull esercizio?? Determinare gli insiemi di continuità equivale a studiare dove la funzione converge uniformemente?? Mentre determinare gli insiemi di derivabilità equivale a studiare dove la serie delle derivate converge uniformemente???

Aggiunto 1 ore 51 minuti più tardi:

Ho provato a risolvere l esercizio come hai detto tu, e ho trovato che la serie converge uniformemente nell intervallo (-∞,ln(2)] per il criterio di Abel, o per il criterio di weirstrass se non eseguo la sostituzione. Quindi l insieme di continuità di f(x) è (-∞,ln(2)]??? Poi ho calcolato la serie delle derivate, ma a questo punto mi fermo perchè non riesco a dimostrare la convergenza uniforme in (-∞,ln(2)]...come devo fare???

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Beh per t=1 sostituendo ottendo una serie armonica generalizzata che converge, mentre per t=-1 ottengo una serie a termini alterni che se nn ho sbagliato i conti dovrebbe divergere per leibniz, quindi in conclusione l insieme di continuità è (-∞,ln(2)] giusto??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Io farei questo: poni
[math]t=1-e^x[/math]
e studia la serie di funzioni
[math]g(t)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}}\cdot t^n[/math]

determinandone raggio di convergenza, dove converge uniformemente, ecc. Una volta noti questi fatti potrai usare i vari teoremi sulle serie (tipo Abel) che ti dicono se la funzione somma è continua e derivabile e dove essa lo sia (tutto in funzione di
[math]t[/math]
ovviamente). A quel punto, basta che ricordi la posizione fatta e scrivi le condizioni per la variabile
[math]x[/math]
.
Aggiunto 11 ore 38 minuti più tardi:

Basta ricordare il seguente fatto: la somma di una serie di funzioni continue risulta continua se la convergenza è uniforme. Allo stesso modo per le derivate.

Ora, il raggio di convergenza della serie è
[math]R=1[/math]
per cui la serie converge uniformemente su ogni compatto nell'intervallo
[math](-1,1)[/math]
(rispetto alla varibile
[math]t[/math]
) Su tali insiemi la funzione somma risulta continua e anche derivabile (ha lo stesso raggio di convergenza). Ritornando alla
[math]x[/math]
avrai le condizioni
[math]-1<1-e^x<1\ \Rightarrow\ 0<e^x<2[/math]

e quindi puoi concludere che la funzione risulta continua e derivabile su ogni compatto dell'intervallo
[math](-\infty,\log 2)[/math]
.
Cosa succede per
[math]t=\pm 1[/math]
?
Aggiunto 1 giorni più tardi:

Per t=1 hai detto giusto. Per t=-1, la serie converge per Leibniz. Infatti se
[math]a_n=1/n^{3/2}[/math]
hai che
[math]\lim_{n\to\infty} a_n=0[/math]
e si ha
[math]a_n>a_{n+1}[/math]
: infatti essendo
[math]n<n+1\ \Rightarrow\ n^{3/2}<(n+1)^{3/2}\ \Rightarrow\ \frac{1}{n^{3/2}}>\frac{1}{(n+1)^{3/2}}[/math]

Il problema è che se
[math]t=1\ \Rightarrow\ 1-e^x=1\ \Rightarrow\ e^x=0[/math]
per cui non hai una corrispondenza, mentre per
[math]t=-1\ \Rightarrow\ 1-e^x=-1\ \Rigtharrow\ x=\ln 2[/math]
. In tal caso, tuttavia, la funzione somma risulta solo continua a sinistra (non è definita per
[math]x>\ln 2[/math]
) per cui non hai differenziabilità.
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