92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ciao avrei bisogni di una mano con qst esercizio
dimostrare che

[math]2^{n}\geq n^{2} \forall n\geq4[/math]

base dell'induzione

[math]P(4): 16\geq16[/math]
vera
ora suppongo vera P(n) e dimostro P(n+1)

P(n+1)
[math]2^{n+1}\geq(n+1)^{2}[/math]

ora so da P(n) che
[math]2^{n}\geq n^{2}[/math]

quindi mi basterebbe considerare

[math]2\geq 1+2n[/math]
giusto?
ma da qua non so cosa fare, potete aiutarmi? Grazie mille in anticipo
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, vogliamo dimostrare che
per ogni
[math]n\ge 4[/math]
vale
[math]2^n \ge n^2\\[/math]
.
Base dell'induzione:
La disuguaglianza è sicuramente vera per
[math]\small n=4[/math]
, in quanto è vero che
[math]\small 16 \ge 16\\[/math]
.
Passo induttivo:
Supponiamo che la disuguaglianza sia vera
per
[math]\small n[/math]
e dimostriamo che allora è vera anche
per
[math]n+1[/math]
. In effetti vale
[math]2^{n+1} = 2\cdot 2^n \ge 2\cdot n^2 \ge (n+1)^2[/math]
,
dove la prima disuguaglianza discende
dall'ipotesi di induzione, mentre per quanto
riguarda la seconda è sufficiente sviluppare
i conti per mostrare che è vera per
[math]n \ge 4[/math]
.
[math]\square\\[/math]

Ok? :)
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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no capisco tato bene come mai poassiamo da 2^n e poi scriviamo n^2
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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L'ipotesi induttiva consta del fatto tale disuguaglianza valga per
[math]n[/math]
, ossia che per ogni
[math]n \ge 4[/math]
si abbia
[math]2^n \ge n^2[/math]
. Moltiplicando ambo i membri per
[math]2[/math]
si perviene alla disequazione di cui sopra. Il resto è tutto scritto lì, si tratta di un'applicazioncina di tale principio che perlomeno quando lo si utilizza per dimostrare uguaglianze/disuguaglianze i passaggi (concettuali) sono sempre quelli. Altri esercizi svolti li trovi qui(click). ;)
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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ok ho capito grazie mille!!! :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Io la dimostrerei al contrario, per evitare troppi sconvolgimenti: sappiamo he
[math]n^2\le 2^n[/math]
, pertanto
[math](n+1)^2=n^2+2n+1\le 2^n+2n+1[/math]

Ora, è banale e immediato verificare che
[math]2n+1\le 2^n[/math]
per ogni
[math]n\ge 4[/math]
per cui
[math](n+1)^2\le 2^n+2^n=2\cdot 2^n=2^{n+1}[/math]
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