Benz
Benz - Erectus - 77 Punti
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Ciao, mi servirebbe capire come si svolge questo tipo di esercizio perfavore, che non so come partire.

Aggiunto 1 minuto più tardi:

la richiesta sarebbe:

- Studiare il comportamento della seguente successione e calcolarne il limite.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Osserviamo per prima cosa che
[math]a_{n}>0[/math]
per ogni
[math]n\ne 0[/math]
. Inoltre osserva che

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{3+\frac{4}{a_n}}>\sqrt{3}>1[/math]


pertanto
[math]a_{n+1}>a_n[/math]
, e quindi la successione è crescente. A questo punto possiamo avere solo due casi: o la successione diverge a
[math]+\infty[/math]
oppure converge ad un limite
[math]a>0[/math]
. Supponiamo che sia vera la seconda questione: poiché
[math]\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} a_{n+1}=a[/math]
possiamo scrivere

[math]a=\sqrt{3a+4}\ \Rightarrow\ a^2-3a-4=0\ \Rightarrow\ a=1,\ a=4[/math]


che sono i due possibili limiti. Tuttavia vediamo subito che
[math]a_1=\sqrt{4}=2[/math]
e visto che la successione è crescente non possiamo ottenere tale valore come limite.

Per quanto riguarda il valore
[math]a=4[/math]
dobbiamo vedere se la successione sia limitata o meno. Come facciamo? Se 4 fosse il valore del limite, allora sarebbe anche l'estremo superiore, per cui ci basta provare che
[math]a_n<4,\ \forall\ n\in\mathbb{N}[/math]
. Procedendo per induzione si ha

1)
[math]a_0=0<4[/math]
per cui la base dell'induzione è vera.

2) Passo induttivo: supponiamo
[math]a_n<4[/math]
e dimostriamo che
[math]a_{n+1}<4[/math]
: abbiamo

[math]a_{n+1}=\sqrt{3a_n+4}<\sqrt{3\cdot 4+4}=4[/math]


e quindi quanto volevamo provare.


Avendo dimostrato la limitatezza della successione, possiamo concludere che
[math]\lim_{n\to+\infty} a_{n}=4[/math]
.
Benz
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grazie ancora Ciampax!

Una domanda però, sei sicuro di questo passaggio?

non dovrebbe essere cosi?
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