miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Avrei un problema con un esercizio di geometria che non riesco a risolvere. L esercizio è il seguente:

Proiettare il punto (2,0,1) sulla retta di eqauzioni :

[math] x+y-z-7=0 [/math]
[math] x-3y-2z=0 [/math]

Qualcuno potrebbe aiutarmi?? Grazie a tutti in anticipo.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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La nostra retta sarà l'intersezione tra 1quei due piani, quidi la prima cosa da fare è
[math]\begin{cases}x+y-z-7=0\\x-3y-2z=0\end{cases}[/math]
.
Credo convenga procedere per sottrazione. In questo modo ottengo l'equazione della nostra retta:
[math]4y+z-7=0[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Newton.... ma che stai a dì???? Una retta nello spazio, per essere data da una equazione cartesiana, deve essere espressa come intersezione di due piani. Quello che hai scritto tu è un piano!!!!!!!!

Il ragionamento da fare, invece è il seguente (te lo spiego in generale): consideriamo una retta data sotto la seguente forma:

[math]r:\ \left\{\begin{array}{l}
ax+by+c+d=0\\ a' x+b' y+c' z+d'=0
\end{array}\right.[/math]

I vettori
[math]\mathbf{n}=(a\ b\ c),\qquad \mathbf{n}'=(a'\ b'\ c')[/math]
rappresentano i vettori normali ai piani in cui compaiono nella definizione, mentre il vettore
[math]\mathbf{r}=\mathbf{n}\times\mathbf{n}'[/math]
(prodotto vettoriale)
rappresenta il vettore direzione della nostra retta.
Ora facciamo un semplice ragionamento: dal momento che la proiezione ortogonale di un punto su una retta coincide con il punto di intersezione tra la retta data e una retta passante per il punto dato e ortogonale alla retta iniziale, allora se indichiamo con
[math]\mathbf{v}=(\ell\ m\ n)[/math]
il vettore direzione della retta passante per il punto
[math]P(\alpha,\beta,\gamma)[/math]
essa è perpendicolare ad
[math]r[/math]
se e solo se
[math]0=\mathbf{r}\bullet\mathbf{v}[/math]
(prodotto scalare).
Ma questo vuol dire che il vettore
[math]\mathbf{v}[/math]
deve essere combinazione linerare dei due vettori
[math]\mathbf{n},\ \mathbf{n}'[/math]
: infatti, dal momento che il prodotto vettoriale restituisce un vettore perpendicolare al piano che contine i due vettori di cui risulta prodotto, ne segue che essendo
[math]\mathbf{r}\bot\mathbf{v}[/math]
allora
[math]\mathbf{v}[/math]
giace nel piano formato dai vettori
[math]\mathbf{n},\ \mathbf{n}'[/math]
e quindi il vettore
[math]\mathbf{r}[/math]
rappresenta la sua normale.
Ora, se hai tre piani e li intersechi ciò che ottieni è un punto (se i piani non sono paralleli, ovviamente). Allora costruiamo il piano passante per
[math]P[/math]
e ortogonale alla retta data: su di esso si troverà la retta che cerchiamo (passante per il punto e ortogonale alla retta data) e in più la sua intersezione con gli altri due piani ci fornirà il punto propiezione di
[math]P[/math]
.
Abbiamo

[math]\mathbf{r}=\mathbf{n}\times\mathbf{n}'=(a\mathbf{i}+b\mathbf{j}+c\mathbf{k})\times(a'\mathbf{i}+b'\mathbf{j}+c'\mathbf{k})=\\
=(bc'-cb')\mathbf{i}+(ca'-ac')\mathbf{j}+(ab'-ba')\mathbf{k}[/math]

e quindi
[math]\mathbf{r}=(bc'-cb'\ ca'-ac'\ ab'-ba')[/math]
. Inoltre per determinare l'equazione del terzo piano abbiamo al relazione
[math]\mathbf{r}\bullet(x-\alpha\ y-\beta\ z-\gamma)=0[/math]

da cui

[math](bc'-cb')x+(ca'-ac')y+(ab'-ba')z-[(bc'-cb')\alpha+(ca'-ac')\beta+(ab'-ba')\gamma]=0[/math]

Usando tale equazione e mettendola a sistema con le altre due ottieni il punto cercato.
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