ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Un piano passa per l'origine se ha equazione della forma
[math]aX+bY+cZ=0[/math]
. Inoltre, se sono paralleli ad una retta data, vuol dire che il loro vettore normale
[math]n=(a,b,c)[/math]
è ortogonale alla direzione della retta stessa. Per trovare tale direzione, consideriamo i due vettori normali ai piani che generano la retta data:
[math]u=(2,-1,1),\ v=(1,-1,1)[/math]

Il vettore direzione è allora
[math]u\times v[/math]
(prodotto vettoriale) e esso risulta ortogonale al precedente se
[math]n\cdot(u\times v)=0[/math]
. L'ultima condizione equivale al determinante della seguente matrice
[math]0=\det\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 2 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|=-b-c[/math]

da cui la condizione
[math]b=-c[/math]
.
Per determinare, invece, la distanza del punto P dai piani, consideriamo la retta passante per il punto e avente direzione coincidente con la normale
[math]n[/math]
. La sua equazione parametrica risulta
[math]\left\{\begin{array}{l}
X=1+at\\ Y=-1+bt\\ Z=1+ct
\end{array}[/math]

Il punto di intersezione
[math]Q[/math]
tra tale retta e il piano
[math]aX+bY+cZ=0[/math]
rappresenta la proiezione ortogonale di
[math]P[/math]
sul piano stesso: per determinarlo, sostituiamo
[math]X,Y,Z[/math]
nell'equazione del piano, ottenendo
[math]a+a^2t-b+b^2t+c+c^2t=0\ \Rightarrow\ t=\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2}[/math]

e pertanto

[math]Q\left(1+a\cdot\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2},-1+b\cdot\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2},1+c\cdot\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2}\right)[/math]

La condizione sulla distanza equivale a dire che
[math]dist(P,Q)=1[/math]
e pertanto
[math]\sqrt{\left(1+a\cdot\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2}-1\right)^2+\left(-1+b\cdot\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2}-(-1)\right)^2+\left(1+c\cdot\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2}-1\right)^2}=1[/math]

e quindi

[math]\sqrt{\left(\frac{-a+b-c}{a^2+b^2+c^2}\right)^2(a^2+b^2+c^2)}=1[/math]

e ancora la condizione

[math]\frac{|-a+b-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1[/math]

o anche, elevando al quadrato ambo i membri

[math]a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc=a^2+b^2+c^2\ \Rightarrow\ -ab+ac-bc=0[/math]

Ricordando che
[math]b=-c[/math]
e sostituendo nell'ultima si ha
[math]ac+ac+c^2=0\ \Rightarrow\ c(2a+c)=0\ \Rightarrow\ c=0,\ c=-2a[/math]

Ne segue che

[math]c=0\ \Rightarrow\ b=0,\ a\in\mathbb{R}[/math]
[math]c=-2a\ \Rightarrow\ b=2a,\ a\in\mathbb{R}[/math]

e quindi, scegliendo in entrambi i casi
[math]a=1[/math]
si hanno i due piani cercati
[math]X=0,\ X+2Y-2Z=0[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, la matrice è questa:

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
x & -x & 3x-4 & -2 & 0 \\
-2 & 2 & 4 & 2 & -2 \\
x-1 & 0 & 0 & 1-x & 2 \\
1 & -1 & -1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right)[/math]

e quello che vuoi fare è discutere le soluzioni del sistema
[math]AX=0[/math]
(e non discutere la matrice, attento/a alla terminologia che usi).
Per prima cosa, calcolando il determinante, si ha

[math]\det(A)=8x(1-x)[/math]

Ora, se
[math]\det(A)\not=0[/math]
e quindi se
[math]x\not= 0,\ x\not=1[/math]
applicando Cramer si trova che il sistema ammette un'unica soluzione (quella banale).
Se
[math]x=1[/math]
allora si ha
[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & -2 & 0 \\
-2 & 2 & 4 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
1 & -1 & -1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right)[/math]

da cui, spostando la terza riga in fondo e applicando una prima riduzione di Gauss si ha

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)[/math]

e ancora

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)[/math]

Il sistema si può riscrivere, allora, come

[math]x_1-x_2-x_3-2x_4=0\quad 2x_3-2x_4-2x_5=0\quad 4x_4+x_5=0\quad x_5=0[/math]

(le ultime due righe danno la stessa equazione) da cui la soluzione

[math]x_5=0,\quad x_4=0,\quad x_3=0,\quad x_1=x_2[/math]

o anche
[math](\alpha,\alpha,0,0,0)[/math]
per cui lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1.
Se invece
[math]x=0[/math]
allora
[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & -4 & -2 & 0 \\
-2 & 2 & 4 & 2 & -2 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & -1 & -1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 3 & 0 & -1
\end{array}\right)[/math]

e quindi, sempre con Gauss

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 6 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -4 & -2 & 0
\end{array}\right)[/math]

e ancora

[math]A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & -1 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 6 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 10 & 0
\end{array}\right)[/math]

per cui il sistema diventa

[math]x_1-x_2-x_3+2x_4+x_5=0,\quad -x_2-x_3+3x_4+3x_5=0,\quad 2x_3+6x_4=0,\quad x_4=0[/math]

(di nuovo le ultime due righe danno la stessa equazione) da cui la soluzione

[math]x_4=0,\quad x_3=0,\quad x_2=3x_5,\quad x_1=2x_5[/math]

o anche
[math](2\alpha,3\alpha,0,0,\alpha)[/math]
per cui lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ciccio, allora, capiamoci: la matrice che hai scritto è quella dei coefficienti del sistema p la matrice completa? Perché, nel primo caso, ho ragione io (ed è quello che ho scritto), altrimenti devo riscriverti la soluzione.

Però, se tu non scrivi con il Latex, cosa pretendi?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Bé, allora la faccenda si fa complicata perché io non sarei partito dal calcola del determinante di
[math]A[/math]
ma avrei percorso un'altra strada. E adesso scrivere tutto diventa un po' problematico.
Aggiunto 9 minuti più tardi:

Facendo un po' di calcoli veloci, mi pare che per
[math]x\not=1,\ x\not= 0[/math]
il sistema è incompatibile. Per
[math]x=0[/math]
si ha il sistema equivalente
[math]x_4=0,\ 2x_3+x_4=0,\ -x_2-x_3+3x_4=3,\ x_1+x_2-x_3+2x_4=0[/math]

e la soluzione
[math](3,3,0,0)[/math]
unica.
Per
[math]x=1[/math]
il sistema risulta incompatibile a causa delle ultime due righe della matrice.
lowskillzz
lowskillzz - Erectus - 62 Punti
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Sia r la retta di equazioni 2X-Y+Z+12=0 ed X-Y+Z-rad5=0 . Determinare i DUE piani che passano per l'origine , paralleli ad r ed aventi distanza 1 dal punto P=(1;-1;1). Non mi ritrovo con i calcoli , Grazie a tutti coloro che mi daranno una mano.
lowskillzz
lowskillzz - Erectus - 62 Punti
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Grazie mille ho fatto in un altro modo e mi viene lo stesso risultato. Sei stato molto disponibile , se hai ancora due minuti vorrei sapere se ho discusso questa matrice correttamente
(x ;-x ;3x-4;-2; 0)
(-2;2;4;2;-2)
(x-1;0;0;1-x;2)
(1;-1;-1;2;1)
(-1;1;3;0;-1)
bisogna discuterla al variare del parametro x , mi viene che per ogni x diverso da 0;1 il sistema è incompatibile. Nei casi particolare: Per x=1 sistema incompatibile. Per X=0 con i minori orlati+ Cramer mi vengono soluzioni del tipo (k-2;k-3;k/2;k). Giusto?
lowskillzz
lowskillzz - Erectus - 62 Punti
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Ma scusa nel caso di x=1 , il sistema è chiaramente incompatibile , poichè (terza riga , quella che tu sposti sotto) comporta 0=2 , il che è impossibile, o sbaglio?
lowskillzz
lowskillzz - Erectus - 62 Punti
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Si è la matrice completa...cosi che per x=1 il sistema è incompatibile. Dovresti dirmi come vengono le soluzioni per x=0 , a me viene (k-2;k-3;k/2;k)con orlati+cramer . Perdonami se non ho scritto bene la traccia.
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