nilloi
nilloi - Ominide - 2 Punti
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Mi aiutate a risolvere questi esercizi sulla convergenza delle serie ?

per quali α la serie converge ?
1)∑((n+logn)^α/n^2))


2) ∑((n^2+n+4)/(n+1)^α)

3) ∑(((n+1)^α)/n^2)

Grazie
FranceVige
FranceVige - Erectus - 66 Punti
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Ciao,

ci ho messo un po' ma dovrebbe essere giusto:
in pratica ho usato il criterio del confronto asintotico
[math]
1) \sum_{n=1}^\infty\frac{(n+log(n))^α}{n^2} \leq \frac{1}{n^{α-2}}
[/math]
se
[math]\alpha>3[/math]
la serie converge
[math]
2) \sum_{n=0}^\infty\frac{(n^2+n+4)}{(n+1)^\alpha} \leq \frac{1}{n^{α-2}}
[/math]
la serie converge come sopra

[math]
3) \sum_{n=1}^\infty\frac{(n+1)^\alpha}{n^2} \leq \frac{1}{n^{2-\alpha}}
[/math]
se
[math]\alpha<1[/math]
la serie converge
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, date le serie numeriche

[math]\small \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + \log n)^{\alpha}}{n^2}\; , \; \; \; \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^2 + n + 4}{(n + 1)^{\alpha}} \; , \; \; \; \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(n + 1)^{\alpha}}{n^2} \end{aligned}\\[/math]
notando che per
[math]\small n \to \infty\\[/math]
si ha
[math]\small \frac{(n + \log n)^{\alpha}}{n^2} \sim \frac{n^{\alpha}}{n^2} = \frac{1}{n^{2 - \alpha}}\,, \; \; \frac{n^2 + n + 4}{(n + 1)^{\alpha}} \sim \frac{n^2}{n^{\alpha}} = \frac{1}{n^{\alpha - 2}}\,, \; \; \frac{(n + 1)^{\alpha}}{n^2} \sim \frac{n^{\alpha}}{n^2} = \frac{1}{n^{2 - \alpha}}[/math]

per confronto con la serie armonica generalizzata, si ha convergenza per

[math]\small 2 - \alpha > 1\,, \; \; \; \; \alpha - 2 > 1\,, \; \; \; \; 2 - \alpha > 1\\[/math]
ossia rispettivamente per

[math]\alpha < 1\,, \; \; \; \; \alpha > 3\,, \; \; \; \; \alpha < 1\\[/math]
e trattandosi di serie a termini non negativi, per gli altri
[math]\small \alpha\\[/math]
si ha divergenza.
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)


@FranceVige: quelle disuguaglianze innanzitutto vanno fatte tra successioni,
non tra serie e successione; poi rivedile bene, non è vero ciò che hai scritto
nemmeno considerando tali disuguaglianze esclusivamente tra le due succes-
sioni; ultima cosa: qualora fossi riuscito a maggiorare in quel modo, il criterio
applicato sarebbe quello del confronto (il criterio del confronto asintotico è un
altro). Spero sia chiaro.
FranceVige
FranceVige - Erectus - 66 Punti
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ops ho sbagliato il primo, ho invertito alfa -.-"
infatti avevo pensato a fare gli asintotici, in modo tale da dire se sono convergenti, solo che poi ho posto quelli come maggioranti convergenti... errore mio, scusate ;)
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