BoyScout
BoyScout - Habilis - 197 Punti
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Ciao ragazzi, avrei bisogno di un favore enorme:
potreste cortesemente aiutarmi nella risoluzione dei seguenti 4 esercizi?
*allego il file

Grazie
Maria Elena
.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Esercizio 1)
Possiamo riscrivere la funzione (il cui dominio è l'insieme
[math]D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/math]
come
[math]f(x)=R^{12} x^{-12}-R^6 x^{-6}=R^6[R^6 x^{-12}-x^{-6}][/math]

Osserva che

[math]\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0[/math]

mentre

[math]\lim_{x\to 0^{\pm}} f(x)=+\infty[/math]

Ora, derivando si ha

[math]f'(x)=R^6[-12 R^6 x^{-13}+6 x^{-7}]=6 R^6 x^{-13}[-2 R^6+x^6][/math]

Per determinare i punti stazionari, risolviamo l'equazione
[math]f'(x)=0[/math]
: le soluzioni sono
[math]x=\pm\sqrt[6]{2} R[/math]
.
Per verificare se essi siano massimi o mini, calcoliamo la derivata seconda: abbiamo

[math]f''(x)=6 R^6[26 R^6 x^{-14}-7 x^{-8}]=6 R^6 x^{-14}[26 R^6-7 x^6][/math]

Sostituendo i valori dei due punti stazionari si ha

[math]f''(\pm\sqrt[6]{2} R)=6 R^6 R^{-14} 2^{-14/6}[26 R^6-14 R^6]=\frac{24}{\sqrt[6]{4}} R^{-8}\ 12 R^6>0[/math]

e quindi i due punti risultano, entrambi, dei minimi. Dal momento che

[math]f(\pm\sqrt[6]{2} R)=R^12 \frac{1}{4R^{12}}-R^6 \frac{1}{2R^6}=-\frac{1}{4}<0[/math]

questo implica (a causa dei limiti calcolati precedentemente, che tali punti sono di minimo assoluto.

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Esercizio 3)
Lo sviluppo in serie di Taylor (di potenze) per la funzione
[math]\cos t[/math]
in un intorno di
[math]t=0[/math]
è dato da
[math]\cos t=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!}[/math]

Ora, se
[math]t=\sqrt{x}[/math]
allora
[math]t^{2k}=(\sqrt{x})^{2k}=x^k[/math]
e pertanto
[math]\cos \sqrt{x}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^k}{(2k)!}[/math]

Inserendo tale espressione nell'integrale si ha

[math]\int_0^1\cos \sqrt{x}\ dx=\int_0^1\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^k}{(2k)!}\ dx[/math]

e dal momento che tale serie di potenze converge totalmente sull'intervallo
[math][0,1][/math]
possiamo scambiare la somma con l'integrale da cui
[math]=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{1}{(2k)!}\int_0^1 x^k\ dx=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{1}{(2k)!}\left[\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_0^1,[/math]

e quindi

[math]\int_0^1\cos\sqrt{x}\ dx=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{1}{(k+1)(2k)!}[/math]

L'ultima serie è sicuramente convergente (lo si può anche verificare tramite il criterio del rapporto per le serie numeriche). Tuttavia non è possibile, in modo semplice, determinare il valore esatto di questa serie.

Aggiunto 14 minuti più tardi:

Esercizio 4)
Osserviamo per prima cosa che la soluzione
[math]y=0[/math]
è una soluzione singolare dell'equazione. Posto allora
[math]y\not= 0[/math]
possiamo scrivere
[math]\int\frac{dy}{y}=\int x\ dx[/math]

da cui

[math]\log|y|=\frac{x^2}{2}+c[/math]

e quindi

[math]y(x)=c e^{x^2/2}[/math]

è al soluzione generale.

Per la soluzione particolare, si ha

[math]4=y(0)=c e^0=c[/math]

e pertanto

[math]y(x)=4 e^{x^2/2}[/math]

è la soluzione particolare cercata.

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Due cose importanti:

a) riguardo l'esercizio 2, non ho ben capito cosa intendi per andamento funzionale. Forse vuoi effettuare lo studio della funzione

[math]g(\lambda)=\int_0^{+\infty} \lambda t e^{-\labda t}\ dt[/math]

sul dominio
[math](0,+\infty)[/math]
per la variabile
[math]\lambda[/math]
?
b) per l'esercizio 3, ci sarebbero due modi diversi per riuscire a calcolare il valore esatto dell'integrale: uno, più pratico, passando ai numeri complessi (ma non ho idea se fanno parte del programma), il secondo, più lungo, rimaneggiando la serie numerica che viene fuori. Fammi sapere che nel caso ti posto la soluzione.
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