92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ciao a tutti, avrei alcune domande riguardanti geometria:
1) se io ho una base duale
[math]\varepsilon*={e_{1}*,e_{2}*,e_{3}*}[/math]
come faccio a determinare per esempio
[math]e_{1}*(2,1,13)[/math]
oppure
[math](3e_{1}*-e_{2}*+5e_{3}*)(x_{1},x_{2},x_{3}) [/math]
e come si determina il nucleo di quest'ultimo?

2)se ho un endomorfismo triangolabile come faccio a determinare la matrice triangolare? io so che se è diagonalizzabile allora è triangolabile ma mentre so determinare la matrice diagonale non so determinare quella triangolare


3)inoltre mi potreste dire come devo procedere per risolvere fìgli esercizi 5.5 punti a e b e 5.6 di questo foglio
http://www.mat.uniroma2.it/~tovena/tutorato5geo2_2012.pdf
gli esercizi sugli spazi quozienti e sugli spazi duali sono quelli che mi creano maggiore difficoltà e purtroppo non sono riuscita a trovare molto in rete quindi vi ringrazio in anticipo se riuscite ad aiutarmi!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ciao kiaretta: l'ora è tarda e sono stanco, ma per evitare che la domanda si chiudesse ho voluto scrivere qui. Ti rispondo domani sera con calma.
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ok ti ringrazio!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) Una base duale
[math]\{e^i\}[/math]
della base
[math]\{{\bf{e}}_j\}[/math]
è caratterizzata dal fatto che
[math]e^i({\bf{e}})_j=\delta_j^i[/math]
(il delta di Kronecker). Ora, un generico vettore si può scrivere come
[math]{\bf{v}}=\sum_{j=1}^n a^j {\bf{e}}_j[/math]
pertanto, essendo gli elementi della base duale applicazioni lineari, si ha
[math]e^i({\bf{v}})=e^i\left(\sum_{j=1}^n a^j{\bf{e}}_j\right)=\sum_{j=1}^n e^i(a^j{\bf{e}}_j)=\\ \sum_{j=1}^n a^j\cdot e^i({\bf{e}}_j)= \sum_{j=1}^n a^j\cdot \delta_j^i=a^i[/math]

nei due casi che hai proposto si ha

[math]e^1(2{\bf{e}}_1+{\bf{e}}_2+13{\bf{e}}_3)=2[/math]

e

[math](3e^1-e^2+5e^3)(x_1{\bf{e}}_1+x_2{\bf{e}}_2+x_3{\bf{e}}_3)=3x_1-x_2+5x_3[/math]

2) per endomorfismo triangolabile cosa intendi? Scriverlo in forma di matrice triangolare inferiore o superiore, oppure decomporlo in blocchi di Jordan? Le cose cambiano. Se posti un esercizio, vediamo di risolverlo.

3) cominciamo con il 5.5: per prima cosa ricorda che se
[math]W\subset V[/math]
è un sottospazio generato dagli elementi
[math]w_1,\ldots, w_m[/math]
con
[math]m\le n=\dim V[/math]
, allora per definizione
[math]V/W=\{v+w\ :\ v\in V,\ w\in W\}[/math]

e pertanto, dal momento che
[math]w\in W[/math]
implica che
[math]w=\sum_{j=1}^m \alpha_j w_j[/math]
con
[math]\alpha_j\in\mathbb{K}[/math]
il campo dei coefficienti dello spazio vettoriale, si ha che, scelta la classe
[math][v]\in V/W[/math]
allora
[math][v]=\{v+w\ :\ w\in W\}=\{v+\sum_{j=1}^m \alpha_j w_j\ :\ \alpha_j\in\mathbb{K}\}[/math]

Morale della favola, per trovare i rappresentanti diversi, trova 5 vettori distinti di
[math]W[/math]
e sommali al rappresentante dato.
Per il punto b) il ragionamento è simile: per dimostrare che
[math][v_1]=[v_2][/math]
basta verificare l'esistenza di un elemento in
[math]w\in W[/math]
in modo che
[math]v_1=v_2+w[/math]
o se vuoi,
[math]v_1-v_2=w[/math]
: se ciò non è possibile, allora le classi sono diverse.
Per il momento fai queste cose e dimmi se ti ritrovi, poi discutiamo l'altro esercizio.
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Allora per quanto riguarda il punto 2:
se ho un'applicazione
[math]f: R^{3}\to R^{3}[/math]
definita da f(x)=Ax
dove
[math]A=\begin{vmatrix}-4 & -8 & 14\\ -1 & -2 & 2\\ -3 & -6 & 9\end{vmatrix} [/math]
devo controllare se è triangolabile (e questo lo so fare) e poi devo determinare una matrice traingolare superiore T

Per quanto riguarda il punto 1 credo di aver capito: quindi se ho una base B=
[math]{v_{1},v_{2},v_{3}}[/math]
dove {math]v_{1}[/math]=(2,1,4),
[math]v_{2}[/math]
=(1,0,2)
[math]v_{3}[/math]
=(1,1,1) e B* è la base duale
e se ho
[math]v=3v_{1}+2v_{2}-v_{3}[/math]
allora
[math]v_{2}*(v)=2[/math]
giusto?
E per determinare il nucleo del secondo che avevo scritto sopra che veniva
[math]3x_{1}-x_{2}+5x_{3}[/math]
lo pongo uguale a zero e vedo quand'è che la x si annulla?


Per quanto riguarda il punto 3:
quindi se ho capito bene 5 rappresentanti della classe[(2,1,0,3)] sono:
(3,1,1,1)+(2,1,0,3)=(5,2,2,4)
(0,1,-1,1)+(2,1,0,3)=(2,2,-1,4)
(3,2,0,2)+(2,1,0,3)=(5,3,0,5)
(6,2,2,2)+(2,1,0,3)=(8,3,2,5)
(0,2,-2,2)+(2,1,0,3)=(2,3,-2,5) giusto?

per quanto riguarda il punto b mi risulta che le due classi non sono uguali perchè il vettore che ne risulta dalla loro differenza non appartiene a W. Corretto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque:

1) per rendere una matrice triangolare superiore basta usare la riduzione di Gauss-Jordan (quella che applichi con i sistemi lineari): io pensavo parlassi di altro. (Una cosa: come controlli che è triangolabile? calcolo del determinante?).

2) Bene, il punto sulle basi duali mi pare ti sia chiaro. Non ho capito di cosa devi calcolare il nucleo, però: dell'applicazione
[math]3e^1-e^2+5e^3[/math]
? Bé. allora basta imporre che
[math]3x_1-x_2+5x_3=0[/math]
e quindi il nucleo ha dimensione due e una base è data da
[math]\{(1,3,0),\ (0,5,1)\}[/math]

3) I rappresentanti li hai trovati bene. Però sul punto b) che hai fatto? Lì ci sono più coppie e credo che alcune possano essere corrette. Ad esempio per la prima si ha

[math](-6,1,-5,1)=-2v_1+3v_2[/math]

non ti pare?
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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1) per vedere se è triangolabile io vedo se è diagonalizzabile perchè se la matrice associata a un endomorfimo è diagonalizzabile allora è anche triangolabile, e per vedere se è diagonalizzabile devo vedere se lo spettro è contenuto in K e se la molteplicità geometrica è uguale a quella algebrica per ogni autovalore

2) Ok ti ringrazio!!!, comunque si, penso che parli del nucleo di quell'applicazione.

3) si è vero hai ragione, mi sono sbagliata e invece del b del 5.5 ho fatto il b del 5.6. Allora del b del 5.5
[0]=[(-6,1,-5,1)]
la seconda non è vera
la terza non è vera
l'ultima è vera
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) mmmm, allora mi sa che stai parlando di riduzione a forma canonica di Jordan, che è una cosa simile alla diagonalizzabilità e la si fa quanto molteplicità algebrica e geometrica non coincidono. Anche perché se le molteplicità coincidono, hai la forma diagonale.

3) bene, possiamo passare al punto successivo. Per determinare una base di
[math]V/W[/math]
è la sua dimensione bisogna sempre tenere conto del fatto che gli elementi di tale spazio sono fati come dicevo prima. In generale si trova che
[math]\dim(V/W)=\dim V-\dim W[/math]

e la determinazione di una base va effettuata trovando un numero di vettori pari alla dimensione che completino la base di
[math]W[/math]
a base di
[math]V[/math]
.
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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1) ok allora se è' la forma di Jordan la so calcolare


2)ok quindi la dim W=2 mentre dim V=4 quindi dimvV/W= 2 e una base potrebbe essere (3,1,1,1),(0,1,-1,1)?
emek
emek - Sapiens - 306 Punti
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chiara scusa ti vorrei dire una cosa mi chiamo marianna percaso ci conosciamo le risposte quelle che ti anno dato sono giuste
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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@kiaretta: sì, mi sembra corretto. Riguardo il fatto della forma di Jordan: sinceramente non so di preciso se è quello che vuoi. Se hai un esercizio postalo così magari vediamo cosa ne viene fuori.

@emek: ma scrivere in italiano?
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ok ti ringrazio!! Di esercizi di quel tipo ho solo quello che ho postato sopra
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Capito. Va bene, cosa dicevi riguardo l'altro esercizio? Qual è il problema?
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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No adesso ho capito, basta che la riduco a forma di Jordan (all'inizio non mi era venuto in mente)
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