92kiaretta
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Ciao a tutti avrei qualche domanda su alcuni esercizi di algebra:
1)Se devo scrivere questo polinomio
[math](X^{2}+1)(Y^{2}+1)(Z^{2}+1)[/math]
come polinomio nei polinomi simmetrici elementari
[math]s_{1},s_{2},s_{3}[/math]
c'è un metodo per calcolarlo oppure devo andare a tentativi?

2)Come si calcola la cardinlità di questi insieme?
[math]Z_{3}[X,Y,Z]/(Y^{2}-X^{2},Y-Z^{3},X_Z)[/math]


Z/(4) di questo devo trovare il numero degli elementi invertibili

[math]Z[\sqrt{-2}]/(3)[/math]
di questo il numero degli lementi invertibili
3) cos'è il risultante di due polinomi e come si calcola?

4)Se ho
[math]a_{1},.....,a_{7}[/math]
radici del polinomio
[math]x^{7}+x+2[/math]
cioè tali che
[math]x^{7}+x+2=(x-a_{1})*(x-a_{2})*****(x-a_{7})[/math]
come faccio a determianre
[math]a_{1}+,.....+a_{7}[/math]
?
Aggiunto 2 giorni più tardi:

Ok alcuni credo di averli capiti ma non sono sicura se il procedimento è giusto quindi potreste vedere se ho fatto bene?
4) poichè
[math]a_{1},....,a_{7}[/math]
sono radici del polinomio
[math] x^{2}+x+2[/math]
allora
[math]a_{1}=-a_{1}^{2}-2[/math]
qusto per ogni radice quindi
[math] a_{1}+...+a_{7}=-a_{1}^{2}-2-a_{2}^{2}-2-.....-a_{7}^{2}-2=-14-a_{1}^{2}-..-a_{7}^{2}[/math]


2)Z/(4)
innanzitutto noto che 4 in Z
si fattorizza così
[math]4=(1-i^{2})^{2}[/math]
quindi Z/(4) lo posso riscrivere come Z/(1-
[math]i^{2}[/math]
)xZ/(1-
[math]i^{2}[/math]
)
Ora però qui mi blocco: come faccio a determinare il numero di elementi invertibili?



[math]Z_{3}[X,Y,Z]/(Y^{2}-X^{2},Y-Z^{3},X-Z)[/math]
Ora questo anello è isomorfo a

[math]Z_{3}[X][Y][Z]/(X-Z)/(Y^{2}-X^{2},Y-Z^{3})[/math]

che è isomorfo a cosa? Qui non so come andare avanti perchè ci sono le tre incognite



[math]Z[\sqrt{-2}]/(3)[/math]
è cisomorfo a
[math]Z[X]/(3,X^{2}+2)[/math]
che è isomorfo a
[math]Z_{3}[X]/(X^{2}+2)[/math]
che è isomorfo a
[math]Z_{3}[X]/(X^{2}-1)=Z_{3}[X]/(X+1)(X-1)[/math]
quindi ha in tutto 9 elementi invertibili giusto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ciao kiara, scusa sono stato assente per qualche giorno. Hai ancora bisogno? Se si, ti rispondo con calma domani o lunedì.
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Si avrei ancora bisogno. Grazie!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, cominciamo dal primo: il metodo generale in questi casi è quello di scriversi il polinomio in maniera corretta, ordinandolo per potenze decrescenti, dopodiché andare a sostituire a "ritroso" i vari polinomi simmetrici, partendo da quelli di ordine più alto. Ora, il polinomio in questione si scrive come

[math]X^2 Y^2 Z^2+X^2 Y^2+X^2 Z^2+Y^2 Z^2+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]

Poiché
[math]s_3=XYZ[/math]
possiamo scrivere
[math]s_3^2+X^2 Y^2+X^2 Z^2+Y^2 Z^2+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]

Ora, osserva che

[math]s_2^2=(XY+XZ+YZ)^2=\\ X^2Y^2+X^2Z^2+Y^2 Z^2+2(X^2YZ+XY^2Z+XYZ^2)[/math]

da cui

[math]s_3^2+s_2^2-2(X^2YZ+XY^2Z+XYZ^2)+X^2+Y^2+Z^2+1=\\
s_3^2+s_2^2-2XYZ(X+Y+Z)+X^2+Y^2+Z^2+1=\\
s_3^2+s_2^2-2s_3 s_1+X^2+Y^2+Z^2+1[/math]

essendo
[math]s_1=X+Y+Z[/math]
. Inoltre
[math]s_1^2=X^2+Y^2+Z^2+2(XY+XZ+YZ)=X^2+Y^2+Z^2+2s_2[/math]

e quindi

[math]s_3^2+s_2^2-2s_3 s_1+s_1^2-2s_2+1[/math]
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ok questo credo di averlo capito!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Passo al terzo e al quarto perché per le domande al punto due ci sono metodi differenti da poter applicare, quindi voglio prima svolgermi con calma le cose per evitare di scriverti risposte incomplete.

Punto 3) Per definizione, dati due polinomi

[math]P(x)=a_n x^n+....,\qquad Q(x)=b_m x^m+...[/math]

il risultante tra i polinomi P e Q è definito come

[math]a_n^m\cdot b_m^n\cdot\prod_{\alpha,\beta\ :\ P(\alpha)=0,\ Q(\beta)=0} (\alpha-\beta)[/math]

Ora capiamo bene cosa vuol dire: hai due polinomi di gradi
[math]n,m[/math]
rispettivamente e di coefficienti al termine di grado massimo
[math]a_n,\ b_m[/math]
. Il risultante è una quantità appartenente alla chiusura algebrica del campo su cui definisci i coefficienti dei polinomi che si ottiene moltiplicando il fattore esterno
[math]a_n^m\cdot b_m^n[/math]
per la differenza di tutte le radici, nella chiusura algebrica del campo (o nel campo di spezzamento, se preferisci), dei due polinomi.
Ad esempio se
[math]P(x)=3x^2-12,\ Q(x)=4x^3-x[/math]
poiché
[math]n=2,\ a_n=3,\ \alpha=\pm 2[/math]
[math]m=3,\ b_n=4,\ \beta=0,\ \pm 1/2[/math]

allora

[math]r(P,Q)=3^3\cdot 4^2\cdot(2-0)(-2-0)(2-1/2)(-2-1/2)(2+1/2)(-2+1/2)[/math]

Se invece
[math]P(x)=x^2+1,\ Q(x)=x^3-x^2[/math]
allora, essendo
[math]n=2,\ a_n=1,\ \alpha=\pm i[/math]
[math]m=3,\ b_m=1,\ \beta=0,\ 0\, 1[/math]

si ha

[math]r(P,Q)=(i-0)(i-0)(-i-0)(-i-0)(i-1)(-i-1)[/math]

Osserva che
1) il numero di fattori "differenza" deve essere sempre uguale a
[math]n\cdot m[/math]
e pertanto le radici dei polinomi vanno contate con la loro molteplicità;
2) il risultante è nullo se e solo se i polinomi hanno almeno una radice in comune.
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ah ok adesso ho capito!!! Avevo provato a cercarlo ma trovavo spiegazioni molto contorte invece così è molto chiaro!! Grazie!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Punto 4) Vediamo un esempio semplice, un polinomio di terzo grado. Allora, facendo i conti otteniamo:

[math](x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc[/math]

Ora, questo tipo di formula si può generalizzare a qualsiasi grado usando i polinomi simmetrici: se indichi con

[math]s_k=s_k(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)[/math]

cioè il k-imo polinomio simmetrico nelle n incognite
[math]\alpha_i[/math]
che sono le radici del polinomio, si ha
[math]\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} s_k x^k[/math]

Ne segue che essendo

[math]s_1=\alpha_1+\ldots+\alpha_n[/math]

la somma delle radici di un polinomio è pari al coefficiente di grado
[math]n-1[/math]
del polinomio stesso moltiplicato per
[math](-1)^{n-1}[/math]
. Nel tuo caso tale somma vale zero (non c'è termine di sesto grado).
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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Ok questo lo capito: e se invece di
[math]a_{1}+...+a_{7}[/math]
dovevo calcolare
[math]a_{1}^{7}+....+a_{7}^{7}[/math]
in questo caso come doveva fare?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Bè, in questo caso puoi sfruttare l'equazione: come dicevi prima, per ogni radice sappiamo che

[math]\alpha_i^7+\alpha_i+2=0[/math]

Ne segue che

[math]\sum_{i=1}^7 \alpha_i^7=\sum_{i=1}^7(-\alpha_i-2)=-\sum_{i=1}^7\alpha_i-14=.14[/math]

In soldoni, qui non c'erano formule note da applicare, quanto piuttosto un po' di ragionamento.
92kiaretta
92kiaretta - Genius - 4341 Punti
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OK Grazie!!
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