Kurdt
Kurdt - Ominide - 41 Punti
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Ho problemi con alcuni esercizi di un appello-tipo,mi ervirebbe la spiegazione dettagliata di come svolgere questi esercizi o come rispondere correttamente alle domande:
PRIMA DOMANDA:Quale dei seguenti sottoinsiemi è sottospazio vetoriale.
A-{(x;y) appartenente R^2 :x^2-y^2=k^2} [x^2=x quadro]
B-{(x;y) appartenente R^2 :x+cos(π)y=kcosπ}
C-{(x;y) appartenente R^2 :ky=0}
D-{v appartenente R^3 :vab+c;λ e μ
[math]e[/math]
R;a;b;c diversi da 0 e fissati in R^3 }
SECONDA DOMANDA:Quale tra le seguenti rette è parallela alla retta r di equazioni parametriche:
r:{x=2t+1
{y=-kt+2

(A)-kx+3y=2 (B)-5x+ky=0 (C)-3x-ky=4 (D)-kx+2y=15

poi nella terza domanda da delle famiglie di vettori e chiede di indicare quale di quelle è una base nel rispettivo ambiente (ogni vettore contiene almeno 1 parametro tipo k)

Poi,come posso trovare base e dimensione di S intersecato T (spiegazione),di S+T e come posso verificare se v appartiene ad S+T???

Mi bsta anche solo la spiegazione dettagliata delle procedure di risoluzione,Grazie anticipatamente e scusate la lunghezza del messaggio!

Questa risposta è stata cambiata da Cherubino (03-04-09 22:57, 7 anni 8 mesi 6 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti basta sapere la definizione di sottospazio vettoriale (la combinazione lineare dei vettori è ancora un elemento dell'insieme). ricorda inoltre che essendo anche spazi vettoriali sono caratterizzati dalla presenza dell'elemento nullo, ossia quel vettore 0 tale che x+0 = x.

per verificare se quesgli insiemi sono sottospazi vettoriali non devi che applicare la definizione e vedere se anche il vettore (a1x1+a2y1, b1x2+b2y2) è un elemento dell'insieme, dove an, bn sono coefficienti non nulli. ti anticipo che certamente per k diverso da 0 l'insieme A non è sottospazio.

per la seconda domanda, guarda il coefficiente angolare del vettore (x,y) su cui giace r, e confrontalo con le rette che hai a scelta: la risposta corretta è la A. per la quarta domanda, credo ti possa tornare utile il teorema della dimensione, che ora non ricordo bene. per le altre aspetta ciampax, ma è meglio se le scrivi completamente
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Per la domanda n.1:

[math]W\subset V[/math]
è un sottospazio di
[math]V[/math]
se e solo se per ogni coppia di vettori
[math]u,v\in W[/math]
e per ogni coppia di scalari
[math]\alpha,\beta[/math]
nel campo
[math]\mathbb{K}[/math]
su cui lo spazio è costruito accade che
[math]\alpha u+\beta v\in W[/math]

Ad esempio nel primo caso se
[math]u=(x,y), v=(z,t)[/math]
sono tali che
[math]x^2-y^2=k^2,\qquad z^2-t^2=k^2[/math]

allora

[math](\alpha x+\beta z)^2-(\alpha y+\beta t)^2=[/math]
[math]\alpha^2(x^2-y^2)+\beta^2(z^2-t^2)+2\alpha\beta(xz-yt)=[/math]
[math]k^2(\alpha^2+\beta^2)+2\alpha\beta(xz-yt)\neq k^2[/math]

in generale e quindi
[math]A[/math]
non è un sottospazio. Per gli altri insiemi puoi procedere allo stesso modo.


Domanda n.2:

In generale la retta parametrica

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=\alpha t+x_0\\
y=\beta t+y_0
\end{array}\right.[/math]

passante per il punto
[math]P(x_0,y_0)[/math]
e di direzione
[math]v=(\alpha,\beta)[/math]
ha equazione cartesiana
[math]y-y_0=\frac{\beta}{\alpha}(x-x_0)[/math]

per cui il suo coefficiente angolare è
[math]m=\beta/\alpha[/math]
. Ricorda che due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.



Domanda n.3:
Posta un esercizio tipo, è più facile spiegare in questo modo.



Domanda n.4:
In generale, se
[math]S,T[/math]
sono dati da equazioni, basta risolvere il sistema di tutte queste equazioni per determinare come è fatto
[math]S\cap T[/math]
e in questo modo la sua dimensione. Per determinare come sia fatto
[math]S+T[/math]
, prima di tutto puoi calcolarne la dimensione con la formula di Grassmann vettoriale
[math]\dim(S+T)=\dim S+\dim T-\dim (S\cap T)[/math]

dopodiché determinarne una base andando a prendere i vettori delle basi di
[math]S, T[/math]
e scartando quelli che sono comuni (e che puoi determinare dalla forma dello spazio
[math]S\cap T[/math]
).
In ogni caso ti consiglio di postare anche qui un esercizio tipo!
Kurdt
Kurdt - Ominide - 41 Punti
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ok,terza domanda (eserecizio tipo):
Quale tra le seguenti famiglie di vettori è base (nel rispettivo ambiente):

(A) {u trasposta=[0,0,k];v trasposta=[0,k,k];w trasposta=[0,k,0]}
(B) {u trasposta=[1,2];v trasposta=[1,1];w trasposta=[2,5]}
(C) {u trasposta=[1,1,0];v trasposta=[1,1,k];w trasposta=[0,0,k]}
(D) {u trasposta=[k,1,2];v trasposta=[0,2,1];w trasposta=[k,-1,1]

quarta domanda:
Dati S= {kx-y-z=0;kx-z=0} e T= {x+kz=0}
Determinare una base e dimensione di S,una base e dimensione di T,una base e dimensione di S intersecato T,una base e dimensione di S+T e evrificare se v trasposta=[1,0,1] appartiene ad S+T motivando la risposta.
Grazie,anche se non ho capito bene la spiegazione di champax sulla prima domanda......
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Scusami se rispondo solo ora, ma ho avuto 3 giorni davvero terribili!

Allora, ecco come procedere:

In generale quando vedi un esercizio del genere, devi calcolare quanti elementi ha ogni singolo vettore: questo implica che stai lavorando in uno spazio vettoriale
[math]V[/math]
di dimensione
[math]n=[/math]
numero delle componenti del vettore (in generale lo spazio è
[math]\mathbb{R}^n[/math]
).
A questo punto puoi fare una considerazione per escludere insieme che sono, visibilmente, non accettabili:

se un insieme ha meno di
[math]n[/math]
vettori allora non può essere una base.

Fatto questo, procedi nel vedere se i vettori linearmente indipendenti di ogni insieme sono in numero giusto ( e cioè esattamente
[math]n[/math]
).
Negli esempi che hai postato trovi che

(A)
[math]u+w=v[/math]
per cui ci sono solo 2 vettori lineramente indipendenti e a te ne servono tre: non è una base;
(B) ci sono tre vettori per uno spazio 2 dimensionale e sicuramente u,v (oppure u,w o ancora v,w) non sono linearmente dipendenti (non sono proporzionali): alora hai 3 possibili scelte per la base (le coppie elencate prima);

(C)
[math]u+w=v[/math]
di nuovo come nel caso (A);
(D)
[math]u-v=w[/math]
ancora come nel caso (A).



Per la base di
[math]S[/math]
risolvi il sistema di equazioni con cui
[math]S[/math]
è fornito: trovi che le soluzioni sono
[math]z=kx, y=0[/math]

e quindi
[math]S=\{(x,0,kx)\}[/math]
che dipende da un solo parametro. Ne segue che una base è data dal vettore
[math](1,0,k)[/math]
avendo scelto x=1 ed
[math]S[/math]
ha dimensione 1.
Per T invece trovi che
[math]x=-kz[/math]
per cui
[math]T=\{(-kz,y,z)\}[/math]
che dipende da due parametri. Quindi una base si trova ponendo una volta y=1,z=0 e la seconda y=0,z=1 da cui
[math](0,1,0),\quad (-k,0,1)[/math]

e quindi la dimensione di T è 2.

Per l'intersezione
[math]S\cap T[/math]
hai da risolvere il sistema con tutte e tre le equazioni per cui l'unica soluzione è
[math]x=y=z=0[/math]

e quindi la dimensione di tale intersezione è 0 (consiste del solo vettore nullo).

Per la somma usando la formula di Grassmann trovi

[math]\dim(S+T)=\dim(S)+\dim(T)-\dim(S\cap T)=1+2=3[/math]

ma allora S+T è un sottospazio vettoriale di
[math]\mathbb{R}^3[/math]
con la sua stessa dimensione: ne segue che
[math]S+T=\mathbb{R}^3[/math]
e quindi una qualsiasi base va bene. In particolare puoi scegliere
[math](1,0,k),\ (0,1,0),\ (-k,0,1)[/math]

cioè i vettori delle basi precedenti (sai dimostrare che sono tre vettori linearmente indipendenti per ogni valore di k?). Infine, osserva che essendo S+T tutto lo spazio reale a tre dimensioni il vettore v deve esservi per forza contenuto.

Infine, cosa non hai capito di prima?
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