valendjn0593
valendjn0593 - Ominide - 6 Punti
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Ciao a tutti :)
Vorrei capire come risolvere la seguente euqazione differenziale di secondo ordine, date le condizioni iniziali:
y′′−5y′+4y=sin(x^3)
y(0)=0
y′(0)=0

Prima di tutto ho calcolato l'omogenea associata che mi viene:
yo(x)=C1e^{11x}+C2e^{14x}

Ora, per il fatto che esiste una soluzione particolare, non so come procedere. Non so se mettere a sistema la derivata dell'omogenea con l'omogenea, sostituire le condizioni iniziali e ricavare C1 e C2 non tenendo in considerazione la particolare oppure fare qualcos'altro. Grazie milla per l'aiuto :)
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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scusa,ma l'equazione
[math]\lambda^2-5\lambda+4=0[/math]


ha come soluzioni 1 e 4

quindi,la soluzione generale dell'omogenea associata è

[math]y=c_1e^x+c_2e^{4x}[/math]


per quanto riguarda l'altra questione,detta f(x) una soluzione particolare della non omogenea,la sua soluzione generale è

[math]y=c_1e^x+c_2e^{4x}+f(x)[/math]


a questo punto imponi le condizioni iniziali
valendjn0593
valendjn0593 - Ominide - 6 Punti
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Sisi, hai ragione. Errore di calcolo. Il mio problema consiste proprio nell'imporre le condizioni inziali, dato che una è y′(0)=0 non so come comportarmi ... grazie per l'aiuto :)
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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ovviamente
[math]y'=c_1e^x+4c_2e^{4x}+f'(x)[/math]


e quindi
[math]y'(0)=c_1+4c_2+f'(0)[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La soluzione particolare di questa equazione, quella indicata da rino con
[math]f(x)[/math]
può risultare un po' ostica vista la forma del termine noto. Se ho capito bene, tale termine risulta essere
[math]r(x)=\sin(x^3)[/math]
che causa seri problemi nella ricerca della soluzione particolare, essendo pericolosamente non lineare come termine. Io consiglierei l'uso del metodo della variazione delle costanti, che tuttavia dovrebbe essere un po' laborioso nello svolgimento dei calcoli.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Il fatto è che l'integrale generale risulta essere questo mostriciattolo

[math]y(x)=\left(c_1 - \frac{1}{3}\int \frac{\sin(x^3)}{e^x}dx\right)e^x + \left(c_2 + \frac{1}{3}\int \frac{\sin(x^3)}{e^{4x}}dx\right)e^{4x}\\[/math]

che non mi pare lasci molto scampo dal punto di vista dei conti...

Mi sorge pure il dubbio che si tratti di
[math]q(x)=\sin^3 x[/math]
perché in tal caso
le cose sono estremamente più semplici, in quanto non è difficile mostrare
che
[math]\sin^3(x) = \frac{3}{4}\sin(x) - \frac{1}{4}\sin(3x)[/math]
e grazie al noto principio di
sovrapposizione degli effetti
... :)
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