mery3000
mery3000 - Ominide - 13 Punti
Salva
Ho questo esercizio che non riesco a svolgere:
Assegnata la superficie di equazione z=sen(xy-x), scrivere un'equazione del piano per P(2,0,1)parallelo al piano tangente alla superficie in Q(2,1,0).


Mi potete dire come svolgerlo e cosa devo sapere per poterlo fare?
Grazie mille!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Salva
Allora, per prima cosa sappiamo che due piani

[math]ax+by+cz+d=0,\qquad a'x+b'y+c'z+d'=0[/math]

sono paralleli se e solo se

[math]\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\lambda\in\mathbb{R}[/math]

Ora, data una funzione
[math]z=f(x,y)[/math]
il piano tangente a tale funzione passante per il punto
[math]A(x_0,y_0,z_0)[/math]
è dato dall'equazione
[math]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)+(z-z_0)=0[/math]
.
Nel tuo caso essendo
[math]f(x,y)=\sin(xy-x)[/math]
si ha
[math]f_x(2,1)=\left.\cos(xy-x)\cdot(y-1)\right|_{(2,1)}=\cos(0)\cdot 0=0[/math]
[math]f_y(2,1)=\left.\cos(xy-x)\cdot x\right|_{(2,1)}=\cos(0)\cdot 2=2[/math]

il piano tangente alla funzione passante per
[math]Q[/math]
ha equazione
[math]0\cdot(x-2)+2(y-1)+(z-0)=0\ \Rightarrow\ 2y+z-2=0[/math]

e quindi il piano passante per
[math]P[/math]
deve avere equazione
[math]2\lambda y+\lambda z+d=0[/math]

Imponendo le condizioni di passaggio per
[math]P[/math]
si ha
[math]2\lambda\cdot 0+\lambda +d=0\ \Rightarrow\ d=-\lambda[/math]

Quindi, posto
[math]\lambda=1[/math]
(visto che tutti i coefficienti dipendono da tale valore) ottieni l'equazione
[math]2y+z-1=0[/math]

che è quella cercata.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 248 Punti

Comm. Leader
.anonimus.

.anonimus. Tutor 43870 Punti

VIP
Registrati via email