ale92t
ale92t - Genius - 4788 Punti
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Salve. Avrei gentilmente bisogno di una mano su un esercizio.

Sia f(1,0,0)= (-1,0,1), f(0,1,0) = (0,2,1), f(0,0,1)= (3,4,-1) l'endomorfismo su R^3. Esprimere f rispetto alla base B (1,0,0),(0,1,0),(3,-2,1) nel dominio e alla base B nel codominio.

Sono partito dalle basi canoniche e ho espresso le combinazioni lineari:

(1,0,0)= a(1,0,0)+ b(0,1,0) + c(3,2,-1) Dal sistema ottengo che a=1,b=0,c=0
(0,1,0)= a(1,0,0)+ b(0,1,0) + c(3,-2,1) Dal sistema ottengo che a=0,b=1,c=0
(0,0,1)= a(1,0,0)+ b(0,1,0) + c(3,-2,1) Dal sistema ottengo che a=-3,b=2,c=1

e quindi la matrice associata è

1 0-3
0 1 2
0 0 1

Mi dite dove ho sbagliato e come eventuamente procedere? Grazie in anticipo.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, siano

[math]E := \left( e_1 = (1,\,0,\,0), \, e_2 = (0,\,1,\,0), \, e_3 = (0,\,0,\,1) \right)\\[/math]
;
[math]B := \left( b_1 = (1,\,0,\,0), \, b_2 = (0,\,1,\,0), \, b_3 = (3,\,-2,\,1) \right)\\[/math]
.
La matrice che hai trovato è quella di passaggio dalla base
[math]E[/math]
alla base
[math]B\\[/math]
.

Correzione al tuo metodo (con i sistemi):

[math]f(1,\,0,\,0)=(-1,\,0,\,1)=a\,(1,\,0,\,0)+b\,(0,\,1,\,0)+c\,(3,\,-2,\,1)\\[/math]
;
dal sistema ottengo che
[math]a=-4, \; b=2, \; c=1\; .\\[/math]


[math]f(0,\,1,\,0)=(0,\,2,\,1)=a\,(1,\,0,\,0)+b\,(0,\,1,\,0)+c\,(3,\,-2,\,1)\\[/math]
;
dal sistema ottengo che
[math]a=-3, \; b=4, \; c=1\; .\\[/math]


[math]\begin{aligned}f(3,\,-2,\,1) & =3\,(-1,\,0,\,1)-2\,(0,\,2,\,1)+1\,(3,\,4,\,-1)
\\ & =(0,\,0,\,0)
\\ & = a\,(1,\,0,\,0)+b\,(0,\,1,\,0)+c\,(3,\,-2,\,1) \end{aligned}\\[/math]
;
dal sistema ottengo che
[math]a=0, \; b=0, \; c=0\; .\\[/math]


Metodo matriciale:

La matrice associata a
[math]f\\[/math]
rispetto alla base
[math]E\\[/math]
è
[math]A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\\[/math]
.

La matrice di passaggio dalla base
[math]B[/math]
alla base
[math]E\\[/math]
è
[math]M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\[/math]
.

La matrice di passaggio dalla base
[math]E[/math]
alla base
[math]B\\[/math]
(quella trovata da te) è
[math]M^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\[/math]
.

La matrice associata a
[math]f[/math]
rispetto alla base
[math]B\\[/math]
è
[math]B = M^{-1}\,A\,M = \begin{bmatrix} -4 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\\[/math]
.

Verifica:

[math]f(b_1)=f(1,\,0,\,0)=(-1,\,0,\,1)=-4\,b_1+2\,b_2+1\,b_3\\[/math]
,
perciò la prima colonna di
[math]B[/math]
deve essere
[math](-4,\,2,\,1)^t\\[/math]
, ok.

[math]f(b_2)=f(0,\,1,\,0)=(0,\,2,\,1)=-3\,b_1+4\,b_2+1\,b_3\\[/math]
,
perciò la seconda colonna di
[math]B[/math]
deve essere
[math](-3,\,4,\,1)^t\\[/math]
, ok.

[math]\begin{aligned}f(b_3) = f(3,\,-2,\,1) & =3\,(-1,\,0,\,1)-2\,(0,\,2,\,1)+1\,(3,\,4,\,-1)
\\ & =(0,\,0,\,0)
\\ & = 0\,b_1+0\,b_2+0\,b_3 \end{aligned}\\[/math]
,
perciò la terza colonna di
[math]B[/math]
deve essere
[math](0,\,0,\,0)^t\\[/math]
, ok.

Spero sia abbastanza chiaro :)
ale92t
ale92t - Genius - 4788 Punti
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Chiarissimo! Grazie mille :)
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