indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Un mio amico ha avuto questa domanda all'orale, ma non ha saputo rispondere.
Quale è la relazione che esiste tra successioni e punti di accumulazioni?

Io partirei dalle definizioni:
Una successione è una funzione avente come dominio tutto N+.
I punti di accumulazione sono quei punti che se si prende un intorno con quel punto compreso, si trovano infiniti punti dell'insieme considerato.

Ma come unire questi due concetti?
Grazie.
Dreke90
Dreke90 - Genius - 6795 Punti
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mettila come domanda non discussione!! ciao!
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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non lo so fare...qualcuno può dirmi qualcosa su questo argomento?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Prima di rispondere, qualcuno deve cambiare la discussione in domanda..
A me qui non funziona :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La relazione che esiste è il cosiddetto Teorema Ponte che afferma quanto segue:

Sia data una funzione
[math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]
e sia
[math]x_0[/math]
un punto di accumulazione del dominio di tale funzione. Allora
[math]\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=\ell[/math]
(limite finito o infinito, non importa) se per ogni successione
[math]\{a_n\}[/math]
tale che
[math]\lim_{n\to+\infty}a_n=x_0[/math]
si ha
[math]\lim_{n\to+\infty} f(a_n)=\ell[/math]

In parole povere, se per ogni successione
[math]\{a_n\}[/math]
la successione
[math]\{b_n\}=f(a_n)[/math]
converge (o diverge) sempre al limite
[math]\ell[/math]
.
Osservazione: tale teorema è utile per scoprire quando una funzione non ha limite in un punto. Infatti, basta trovare due successioni diverse,
[math]a_n,\ a'_n[/math]
in modo che vengano fuori due limiti
[math]\ell\neq \ell'[/math]
e questo, per l'unicità del limtie, non può essere possibile.
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Perfetto Ciampax!
Ho sentito dire che il 'teorema ponte' sia una terminologia usata solo a roma e a napoli, ma è vera tale cosa?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Boh... a me lo hanno sempre definito così. E anche io lo chiamo così. Credo in effetti che la terminologia sia dovuta a Gaetano Fichera, matematico Napoletano trapiantato a Roma-Sapienza. E visto che i mie docenti di analisi erano entrambi suoi allievi, è probabile che sia così!
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Ecco perchè.
Comunque sempre per questo teorema, io lo prolungherei con un esempio significativo, quale quello del limite
[math](n->+oo)[/math]
di
[math]sin(x)[/math]
non esiste.
Quindi prendo come esempio due successioni, e provo che hanno limiti diversi, e dunque la prova per la non-esistenza del limite.
Cosi potrei adottare lo stesso ragionamento per il
[math]cos(x)[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Sì, brava, quello è l'esempio classico che si usa. Le successioni, in entrambi i casi, sono

[math]a_n=2n\pi,\quad b_n=\frac{\pi}{2}+2n\pi[/math]

o varianti di queste.
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