morfiero95
morfiero95 - Erectus - 58 Punti
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Si discuta e si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t al variare del parametro reale k:

{x-y+z-t=k^2
{2x+y+5z+4t=k
{x+2z+t=2
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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La cosa migliore è ridurre il sistema a gradini: dopo la prima riduzione si ha

[math]x-y+z-t=k^2,\qquad 3y+3z+6t=k-2k^2,\qquad y+z+2t=2-k^2[/math]

e dopo la seconda riduzione

[math]x-y+z-t=k^2,\qquad 3y+3z+6t=k-2k^2,\qquad 0=2-k^2[/math]

Dall'ultima equazione si deduce che il sistema è compatibile solo quando
[math]2-k^2=0\ \Rightarrow\ k=\pm\sqrt{2}[/math]
. In tal caso il sistema si riduce alla seguenti due equazioni
[math]x-y+z-t=2,\qquad 3y+3z+6t=\pm\sqrt{2}-4[/math]

o anche

[math]x-y+z-t=2,\qquad y+z+2t=\frac{\pm\sqrt{2}-4}{3}[/math]

e pertanto, indicando con
[math]z=\alpha,\ t=\beta[/math]
le variabili indipendenti
[math]x=2-2\alpha-\beta,\qquad y=\frac{\pm\sqrt{2}-4}{3}-\alpha-2\beta[/math]

per cui il sistema ammette
[math]\infty^2[/math]
soluzioni.
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