reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Salve avrei bisogno del vostro aiuto riguardo questo esercizio:

Sia
[math]A\subseteq R [/math]
limitato superiormente.
Si dimostri che:
[math]\left ( a \right )\forall t< supA[/math]
[math] A\cap ]t,supA[\neq \varnothing [/math]

[math](b)\forall t\in \mathbb{R}:[/math]
[math]t\geq sup(A)\Leftrightarrow \forall t\in A t\geq a[/math]

Inoltre si dica se vale la seguente equivalenza:
[math]\forall t\in \mathbb{R}: t> sup(A)\Leftrightarrow \forall t\in A t> a[/math]

se mi potete aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Innanzitutto vediamo di scrivere in maniera corretta il testo dell'esercizio.


Sia
[math]A\subseteq\mathbb{R}\\[/math]
non vuoto limitato superiormente. Si dimostri che:
a)
[math]\forall\,t < \sup(A) : A \, \cap \, ] \, t,\,\sup(A) ] \ne \varnothing \; ;\\[/math]

b)
[math]\forall\,t\in\mathbb{R} : t \ge \sup(A) \Leftrightarrow \forall\,a \in A, \, t \ge a \;.\\[/math]

Inoltre si dica se vale la seguente equivalenza:

[math]\forall\,t\in\mathbb{R} : t > \sup(A) \Leftrightarrow \forall\,a \in A, \, t > a \;.\\[/math]


Trattasi di un esercizio di comprensione del significato di sup.


Definizione. Se
[math]A[/math]
è un sottoinsieme non vuoto di
[math]\mathbb{R}\\[/math]
, allora:
1.
[math]A[/math]
è superiormente limitato se ammette un maggiorante, cioè se esiste
[math]m\in\mathbb{R} : \alpha\le m \; \; \forall\,\alpha\in A[/math]
. In tal caso una delle proprietà di
[math]\mathbb{R}[/math]
_
assicura che esiste
[math]\small \sup(A)=\min\left\{ m\in\mathbb{R} : m \; è \; magg. \; di \; A \right\}\in\mathbb{R}[/math]
.
(Invece l'esistenza di
[math]\small \inf(A)=\max\left\{ m\in\mathbb{R} : m \; è \; min. \; di \; A \right\}\in\mathbb{R}[/math]
,
nel caso in cui
[math]A[/math]
sia un sottoinsieme non vuoto inferiormente limitato, è
conseguenza dell'esistenza del sup.)

2.
[math]A[/math]
è superiormente illimitato se non ammette un maggiorante, cioè
[math]\forall\,m\in\mathbb{R} \; \exists \, \alpha \in A : \alpha > m[/math]
. In tal caso si pone
[math]\sup(A)=+\infty\\[/math]
.

Dunque, sia
[math]A\subseteq\mathbb{R}\\[/math]
non vuoto limitato superiormente.
a) Sia
[math]t < \sup(A).[/math]
Allora
[math]t[/math]
non è maggiorante di
[math]A[/math]
, perché se
[math]t[/math]
_
fosse maggiorante di
[math]A[/math]
allora
[math]t\in\left\{m\in\mathbb{R} : m \; è \; magg. \; di \; A \right\}[/math]
_
quindi
[math]\sup(A)=\min\left\{m\in\mathbb{R} : m \; è \; magg. \; di \; A \right\}\le t[/math]
. Poiché
[math]t\\[/math]
non è maggiorante di
[math]A[/math]
, esiste ... [prova a continuare da solo ...]
b) [Dimostrabile in una riga, provaci!]

Sull'equivalenza ti dico che è falsa. Qualche idea sul perché lo sia? :)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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allora provo a continuare:
Poiché
[math]t[/math]
non è maggiorante di
[math]A[/math]
, esiste
allora il minimo dell'insieme dei maggioranti di
[math]A[/math]
.
(b) diciamo che
[math]t\in\mathbb{R}[/math]
è l'estremo superiore di A se t è il minimo dei maggioranti.
essendo t minimo dei maggioranti di A si a che
[math]\forall\,t\in\mathbb{R} : t \ge \sup(A) \Leftrightarrow \forall\,a \in A, \, t \ge a \;.\\[/math]
..

ditemi se è sbagliato...
non sto riuscendo a capire come continuare..
se mi aiutate..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Allora...


a) [...] esiste
[math]a \in A : t < a\\[/math]
;
[math]a \le \sup(A)[/math]
perché
[math]\sup(A)[/math]
è un maggiorante di
[math]A\\[/math]
;
quindi
[math]a\in A \,\cap\, ]\,t,\,\sup(A)\,][/math]
.


b) Osserviamo che
[math]\left\{m\in\mathbb{R} : m \; è \; maggiorante \; di \; A\right\}=[\,\sup(A),\,+\infty\,[[/math]
_
perché se
[math]m[/math]
è maggiorante di
[math]A[/math]
, allora ogni
[math]m' \ge m[/math]
è maggiorante di
[math]A[/math]
,
perciò
[math]t \ge \sup(A) \, \Leftrightarrow \, t \; è \; maggiorante \; di \; A \, \Leftrightarrow \; \forall\,a\in A, \,t \ge a\\[/math]
.

Dai, ora prova a trovare un (contro)esempio per confutare l'equivalenza ;)
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