dribusen
dribusen - Habilis - 162 Punti
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salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:):
dimostrare che i vettori
[math]t^(x^1, x^2, x^3)[/math]
(t sta per trasposta, non so come si fa a farla diventare apice:)) appartenenti a
[math]R^3[/math]
che soddisfano l'equazione
[math]x1+2x2-x3=0[/math]
formano un sottospazio vettoriale W di
[math]R^4[/math]
; determinare la dimensione e una base di W.
io so che per dimostrare se un vettore appartiene ad un sottospazio bisogna scegliere due vettori generici che rispettano le condizioni date e controllare se:
è vuoto;
se è chiuso rispetto alla somma e al prodotto. ma qui ho un vettore formato da 3 elementi che deve appartenere ad
[math]R^4[/math]
. grazie mille per il vostro aiuto:)
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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in generale,le soluzioni di un'equazione omogenea in n variabili costituiscono un sottospazio di
[math]R^n[/math]
di dimensione
[math]n-1[/math]

nel caso del tuo esercizio si ha
[math]x_3=x_1+2x_2[/math]

quindi W è costituito dai vettori del tipo
[math](x_1,x_2,x_1+2x_2)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1,2)[/math]

[math](1,0,1)[/math]
e
[math](0,1,2)[/math]
costituiscono una base di W
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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infatti secondo me c'è un errore nel testo
dovrebbe essere : dimostrare che i vettori
[math](x_1,x_2,x_3,x_4)[/math]
,soluzioni dell'equazione che hai detto,formano un sottospazio di
[math]R^4[/math]
,il che mi sembra molto facile da dimostrare
dribusen
dribusen - Habilis - 162 Punti
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infatti è quello che avevo immaginato pure io ma il professore mi ha detto che il testo è corretto ma non lo ha svolto a lezione....grazie mille per la risposta:)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Scusate l'intromissione ma, secondo me, il testo dovrebbe recitare così:

Dimostrare che i vettori
[math]\small\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3[/math]
che soddisfano l'equazione
[math]\small x_1+2x_2-x_3=0\\[/math]
_
formano un sottospazio vettoriale
[math]W[/math]
di
[math]\mathbb{R}^3[/math]
; determinare la dimensione e una base di
[math]W\\[/math]
.

Può andare? :)
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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prego

i miei più sentiti complimenti al tuo professore,soprattutto per la disponibilità ad accogliere le richieste degli studenti

Aggiunto 29 minuti più tardi:

sì TeM ,in effetti potrebbe anche essere un errore di stampa
[math]R^4[/math]
invece di
[math]R^3[/math]

però può essere vera anche l'altra interpretazione,nel senso che
[math]x_4[/math]
può fare quello che gli pare :-)
dribusen
dribusen - Habilis - 162 Punti
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se fosse in
[math]R^3[/math]
...la dimensione come si fa a calcolarla?
dribusen
dribusen - Habilis - 162 Punti
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hmm.....credo di aver capito:) grazie mille per l'aiuto:)
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