Ecce
Ecce - Erectus - 98 Punti
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Ciao, vorrei chiedervi se seguo il procedimento corretto in questo esercizio.
La domanda è: la derivata della funzione inversa f(x)=x^2 -kx +lnx nel punto lnk è uguale a -1/2 se e solo se k è uguale a:
a)1/2 b)-1 c)1 d)per nessun valore di k c)nessuna delle precedenti

Io procedo così:
non riuscendo a calcolare a risolvere in x per lnk=x^2 -kx +lnx, ne faccio la derivata , e la eguaglio al reciproco di -1/2 per la formula che dice che la derivata dell'inversa è uguale al reciproco della derivata nei rispettivi punti
g'(lnk)= 1/ f(Xo=?)=-2 e risolvo. Poichè ottengo una funzione di secondo grado, devo trovare quel discriminante >=0 che consenta all'equazione di avere soluzione. L'intervallo mi viene 2+-2sqrt(2).

E' corretto o dovrei seguire un'altra strada? Grazie mille as usual
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Non vorrei sbagliarmi, se così fosse qualunque correzione è ben accetta, ma io la farei così:

[math]x^2-kx+lnx=lnk[/math]
da cui si ricava
[math]x=k[/math]

[math]g'(lnk)= \frac{1}{f'(k)} = [\frac{1}{2x-k+ \frac{1}{x}}]_{x=k}= \frac{k}{-k^2+2k+1} [/math]

quindi
[math] \frac{k}{-k^2+2k+1}= - \frac{1}{2} [/math]
da cui si ricava
[math]k=2 \pm \sqrt{5}[/math]
Ecce
Ecce - Erectus - 98 Punti
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Ok, ho capito. Non sapevo come risolvere la prima equazione, ma in effetti k=x è abbastanza banale..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Per determinare la derivata della funzione inversa g nel punto ln k,
dobbiamo trovare a quale valore di x corrisponde, attraverso la funzione diretta f, il valore f(x)=lnk e di conseguenza x=k. Non ci vedo nulla di strano...
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