Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Non chiedetemi di postare anche un tentativo. Ho riempito pagine e pagine di fogli con il risultato che, ormai ,stremato, sono affetto da 1). Mal di testa 2). Raffreddore 3). Febbre 4). Shock anafilattico

Premessa. L'obiettivo sarebbe quella di trovare i punti cuspidali, i punti angolosi e i flessi a tangente verticale. La funzione è la seguente
[math] f(x)=x^{\frac{3}{5}}(1+x)^{\frac{2}{5}} [/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Posto qualcosa, tanto per farvi notare la mia buona volontà. Il limite del rapporto incrementale è
[math] f(x)'=\lim_{h=0} \frac{(x+h)^{\frac{3}{5}}(1+x+h)^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{3}{5}}(1+x)^{\frac{2}{5}}}{h}[/math]

Aggiunto 15 minuti più tardi:

in un disperato tentativo ho raccolto
[math] x^{\frac{3}{5}}(1+x)^{\frac{2}{5}}[/math]
. Scrivo tutto in forma di radice, mi sembra piu comodo
[math]f'(x)=\frac{\sqrt[5]{\frac{(x+h)^3(1+x+h)^2}{x^3(1+x)^2}}-1}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[5]{\left(\frac{x+h}{x}\right)^3\left(\frac{1+x+h}{1+x}\right)^2}-1}{h}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Purtroppo sarebbe na specie di si. Le operazioni con le derivate sono introdotte solo DOPO

Aggiunto 20 minuti più tardi:

FORMA INDETERMINATA"! SEMPRE STA STRAMALEDETTA FORMA INDETERMINATA!:(

Aggiunto 17 ore 50 minuti più tardi:

C'è qualcuno?

Aggiunto 23 ore 33 minuti più tardi:

SOB!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La funzione è

[math]f(x)=x^{3/5}\cdot(1+x)^{2/5}[/math]

ed è definita dappertutto. Derivando una volta hai

[math]f'(x)=\frac{3}{5}\cdot x^{-2/5}\cdot(1+x)^{2/5}+x^{3/5}\cdot\frac{2}{5}\cdot(1+x)^{-3/5}=\\ \frac{3}{5}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{2/5}+\frac{2}{5}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{3/5}[/math]

e quindi

[math]f'(x)=\frac{1}{5}\left[3\left(\frac{x+1}{x}\right)^{2/5}+2\left(\frac{x}{x+1}\right)^{3/5}\right][/math]

Per determinare monotonia ed altro, usa la disequazione
[math]f'(x)\geq 0[/math]
. Per prima cosa osserva che, nei punti
[math]x=0,\ x=-1[/math]
ci saranno problemi a causa della presenza di quei termini a denominatore nelle frazioni. Per agevolare i calcoli, poniamo
[math]t=\left(\frac{x}{x+1}\right)^{1/5}[/math]
: allora la disequazione da studiare risulta
[math]\frac{3}{t^2}+2t^3\geq 0\ \Rightarrow\ \frac{3+2t^5}{t^2}\geq 0[/math]

che conduce a
[math]-\sqrt[5]{\frac{3}{2}}\leq t<0,\ t>0[/math]
. A questo punto, ricordando la posizione fatta per
[math]t[/math]
abbiamo
[math]\frac{x}{x+1}\geq -\frac{3}{2},\qquad \frac{x}{x+1}\neq 0[/math]

e anche qui, risolvendo, otteniamo che
[math]f'(x)\geq 0[/math]
se e solo se
[math]x<-1,\qquad -\frac{3}{5}\leq x<0,\qquad x>0[/math]

ne deduciamo allora che

[math]x=-1[/math]
punto di massimo
[math]x=-\frac{3}{5}[/math]
punto di minimo
mentre i punti
[math]x=0,\ x=-1[/math]
come dicevamo prima presentano problemi. Utilizziamo allora la definizione di derivata in tali punti per verificare cosa accade:
[math]f'(-1)_{\pm}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\\ \lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{(-1+h)^{3/5}\cdot h^{2/5}-0}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}} -\frac{h^{2/5}}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}} -\frac{1}{h^{3/5}}=\mp\infty[/math]

per cui in
[math]x=-1[/math]
hai una cuspide rivolta verso l'alto.
[math]f'(0)_{\pm}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\\ \lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{(h)^{3/5}\cdot (1+h)^{2/5}-0}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}} \frac{h^{3/5}}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}} \frac{1}{h^{2/5}}=+\infty[/math]

per cui hai in
[math]x=0[/math]
un flesso a tangente verticale.
Per studiare la derivata seconda, uso la seguente scrittura

[math]f'(x)=\frac{1}{5}\left[\frac{3}{t^2}+2t^3\right],\qquad t=t(x)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^{1/5}[/math]

Per prima cosa ho

[math]t'(x)=\frac{1}{5\cdot t^4}\cdot\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{5t^4(x+1)^2}[/math]

e poi

[math]f''(x)=\frac{1}{5}\left[-\frac{6}{t^3}+6 t^2\right]\cdot t'(x)=\frac{6}{5}\cdot \frac{t^5-1}{t^3}\cdot\frac{1}{5t^4(x+1)^2}[/math]

da cui

[math]f''(x)=\frac{6}{25}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}\cdot\frac{t^5-1}{t^7}[/math]

Risolvendo
[math]f''(x)\geq 0[/math]
otteniamo semplicemente
[math]\frac{t^5-1}{t^7}\geq 0[/math]

da cui
[math]t<0,\ t\geq 1[/math]
e ritornando all'espressione per
[math]t[/math]

[math]\frac{x}{x+1}\geq 1,\qquad \frac{x}{x+1}<0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]x<-1,\qquad -1<x<0[/math]

Questo vuol dire che la funzione volge la concavità in alto su
[math](-\infty,-1)\cup(-1,0)[/math]
e verso il basso su
[math](0,+\infty)[/math]
. Non essendo la derivata prima definita in
[math]x=-1,\ x=0[/math]
tali punti sono di non derivabilità per la derivata seconda 8e sono anche gli unici in cui tale funzione presenta problemi). Avendo già stabilito la natura di questi punti in precedenza, concludiamo che non esistono altri punti notevoli per la funzione di partenza.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ma devi calcolarla necessariamente con il rapporto incrementale?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Credimi non riesco, ma ci ho provato.

Aggiunto 31 secondi più tardi:

Chiedo aiuto a chi ti puo' aiutare :)
enrico___1
enrico___1 - Genius - 3717 Punti
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Complimenti ciampax per la risposta
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