Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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che cosa sono gli integrali, quando si usa?????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Andiamo con ordine. Consideriamo una funzione continua
[math]f:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
. Senza farci troppi "problemi" (visto il corso di laurea che frequenti, possiamo seguire un approccio più "pratico" e meno formale) ci si può chiedere se esista una funzione
[math]F:A\rightarrow\mathbb{R}[/math]
per la quale accada che
[math]F'(x)=f(x),\ \forall\ x\in A[/math]
. Se una tale funzione siste, diremo che
[math]F[/math]
è una primitiva della funzione
[math]f[/math]
.

Una prima domanda che ci si può porre è la seguente: ammettendo che
[math]f[/math]
primitive (le motivazioni per cui ciò è possibile sono molteplici: nel caso in esame, il fatto di supporre che la funzione di partenza sia continua è sufficiente), quante ce ne possono essere? Per rispondere a tale quesito, supponiamo che
[math]F,\ G[/math]
siano primitive della funzione
[math]f[/math]
e che l'insieme
[math]A=(a,b)[/math]
sia un intervallo. Affinché le due funzioni sopra siano primitive, deve valere che

[math]F'(x)=f(x),\ G'(x)=f(x),\ \forall x\in A[/math]


Consideriamo ora la funzione
[math]H(x)=G(x)-F(x)[/math]
: per essa si ha

[math]H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0,\ \forall\ x\in A[/math]


ma essendo
[math]A[/math]
un intervallo (e quindi un insieme connesso) possiamo affermare che
[math]H(x)=c\in\mathbb{R}[/math]
, una costante. Abbiamo allora dimostrato il fatto seguente:

Lemma: Se
[math]f[/math]
è continua su un insieme connesso, tutte le sue primitive differiscono per una costante.

In realtà il risultato si può generalizzare ottenendo che, in generale , tutte le primitive di una funzione data differiscono per una costante. Possiamo allora definire il seguente insieme:

[math]P(f)=\\ \left\{G:A\rightarrow\mathbb{R}\ :\ G(x)=F(x)+c,\ c\in\mathbb{R},\ F'(x)=f(x)\ \forall\ x\in A\right\}[/math]


che è l'insieme di tutte le primitive di una funzione
[math]f[/math]
. In forma simbolica, si usa indicare tale insieme con il simbolo seguente

[math]\int f(x)\ dx=F(x)+c[/math]


che prende il nome di integrale indefinito della funzione
[math]f[/math]
. In questo senso, si è soliti affermare che l'integrale, a meno di costanti additive, rappresenta l'operazione inversa di derivazione. Infatti, dal momento che se
[math]F[/math]
è una primitiva di
[math]f[/math]
possiamo scrivere
[math]F'(x)=f(x)[/math]
, sostituendo nella simbologia precedente si ha

[math]\int F'(x)\ dx=F(x)+c[/math]


per cui pensando agli operatori
[math]\int\ dx,\ \frac{d}{dx}='[/math]
come due oggetti che "modificano" la funzione a cui si applicano, si vede che essi funzionano l'uno come inverso dell'altro.

Dimmi se fin qui è chiaro, così procedo.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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allora se ho capito bene l'integrale è una operazione inversa di derivazione...
per esempio se f'(x) = 1 il suo integrale è x + c può essere????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Esatto. Se il concetto ti è chiaro procedo con le regole principali e man mano vediamo di cosa dobbiamo discutere.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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va bene....aspetto la tua risposta.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Iniziamo a vedere le prime proprietà degli integrali. Per prima cosa, osserviamo che

[math]D[a\cdot f(x)+b\ g(x)]=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)[/math]


(linearità della derivata) implica una regola analoga per l'integrale:

[math]\int[a\cdot f(x)+b\cdot g(x)]\ dx=a\int f(x)\ dx+b\int g(x)\ dx[/math]


linearità dell'integrale indefinito.

Questa regola e il "significato" dell'integralo di cui parlavamo prima, permette di determinare delle regole di integrazione immediate molto utili. Vediamo un paio di esempi e poi costruiamo una tabella.

1)
[math]f(x)=x^n,\ n\ne -1[/math]
Osserviamo che

[math]D[x^{n+1}]=(n+1) x^n\ \Rightarrow\ x^n=\frac{1}{n+1}\cdot D[x^{n+1}][/math]


Se applichiamo l'integrale abbiamo

[math]\int x^n\ dx=\int\frac{1}{n+1}\cdot D[x^{n+1}]\ dx=\frac{1}{n+1}\int D[x^{n+1}]\ dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c[/math]


e quindi la regola seguente

[math]\int x^{n}\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c[/math]

2)
[math]f(x)=1/x[/math]
. Poiché
[math]D[\ln|x|]=\frac{1}{x}[/math]
,
procedendo come prima ed integrando si ha la regola seguente

[math]\int\frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+c[/math]


A questo punto, usando una tabella delle derivate delle funzioni elementari e "invertendola", si può costruire il seguente elenco degli integrali immediati:

[math]\int x^\alpha\ dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c,\qquad \alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\ne -1\\
\int\frac{1}{x}\ dx=\ln|x|+c\\ \int e^x\ dx=e^x+c\\ \int a^x\ dx=\frac{a^x}{\ln a},\qquad a>0\\ \int\sin x\ dx=-\cos x+c\\ \int\cos x\ dx=\sin x+c\\ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin x+c\\ \int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan x+c[/math]

Puoi utilizzare questa tabella per risolvere un gran numero di integrali per "decomposizione", cioè quelli in cui la funzione si può scrivere come somma di tante funzioni elementari.


Dimmi se fin qui è tutto chiaro.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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fino qui ho capito che quando c'ho un costante posso portare fuori senza problemi ma sinceramente non ho capito bene l'esempi che hai fatto???
cioè la funzione è:
[math]f(x) = x^n , n ≠ -1[/math]

perchè dopo lo scrivi[/math]x^ n+1[/math] non deve essere x^1
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Guarda bene quello che ho fatto. ho sfruttato la regola per cui
[math]\int F'(x)\ dx=F(x)+c[/math]
. Visto che voglio capire quanto vale l'integrale di
[math]x^n[/math]
devo partire da una funzione la cui derivata mi dia tale valore. La migliore candidata è proprio
[math]x^{n+1}[/math]
.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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ahhhh ho capito grazieeee,allora stampo la tabella quello k hai scrito così mi può aiutare a risolvere altri esercizi....
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Sì, quella tabella è fondamentale. ma ci sono altre regole di integrazione da imparare per risolvere gli esercizi in generale. hai un libro da cui prendere esercizi?
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Si c'ho il libro che si chiama nuovi lineamenti di matematica, vuoi k ti scrivo qualche esercizio????????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No, no, volevo solo sapere se avevi materiale. Con quello che ti ho scritto fino ad ora, puoi risolvere i primi esercizi. Più tardi ti posto alcune regole che vengono fuori direttamente da queste e poi parliamo di integrali più complicati. Intanto mi manderesti delle tracce che vi fanno svolgere su questi argomenti, così capisco fino a dove arrivare? E anche un programma relativo agli integrali.
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Ti allego la foto degli esercizi k sto facendo no lo so fare il5 e il 7 mi puoi spiegare come cavolo si fa un esercizio del genere....
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mi sembra che stai andando bene: quando usi la regola dell'integrale delle potenze, cerca sempre di spezzare in somme di potenze diverse. Abbiamo

[math]\int\frac{x^2}{\sqrt{x}}\ dx=\int x^{2-1/2}\ dx=\int x^{3/2}\ dx=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}+c=\frac{2x^{5/2}}{5}+c[/math]


Stessa cosa per il 7

[math]\int\frac{1+x^3}{2x^2}\ dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x^2}+\frac{x^3}{x^2}\right)\ dx=\frac{1}{2}\left[\int x^{-2}\ dx+\int x\ dx\right]=\\ \frac{1}{2}\left[\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^2}{2}\right]+c=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}\right]+c=\frac{x^3-2}{4x}+c[/math]

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Però quando pubblichi una foto, per favore, mettila dritta, se non devo spezzarmi l'atlante e la cervicale per leggerla! :asd
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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chiedo scusa :P ti volevo chiedere se mi puoi scrivere 2 o 3 esercizi qua senza soluzione(xk voglio risolvere io) così per verificare se ho capito bene questa parte del'integrale o meno... tu k dici????

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