Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Allora ho fatto la derivata seconda ma no lo come devo andare avanti, poi un'altra cs, quando per lo studio della derivata prima pongo (ln|x| - 1)= t e risolvo la equazione di secondo grado mi da come risultato x < -2 e x >0 prendo il valori esterni poi come risolvo, nel senso che (ln|x| - 1) < -2 questo 1 lo porto al secondo membro e mi rimane ln|x| < -1 e qst mi da |x|<e^-1 giusto???????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Correggo i punti errati o incompleti:

Asintoto verticale: non c'è, ma il limite ti dice che c'è un punto di discontinuità eliminabile.

Derivata: è errata.

[math]f'(x)=(\ln|x|-1)^2+x\cdot 2(\ln|x|-1)\cdot \frac{1}{x}=\\(\ln|x|-1)^2+2(\ln|x|-1)[/math]

da cui, sviluppando i quadrati:

[math]f'(x)=\ln^2 |x|-1[/math]

Posto
[math]t=\ln|x|[/math]
si ha
[math]t^2-1\ge 0\ \Rightarrow\ t\le -1,\ t\ge 1[/math]
e quindi
[math]\ln|x|\le -1\ \Rightarrow\ |x|\le e^{-1}\ \Rightarrow\ -e^{-1}\le x\le e^{-1}\\ \ln|x|\ge 1\ \Rightarrow\ |x|\ge e\ \Rightarrow\ x\le -e,\ x\ge e[/math]

Ne segue che

[math]f(x)[/math]
cresce su
[math](-\infty,-e)\cup(-e^{-1},0)\cup(0,e^{-1})\cup(e,+\infty)[/math]

[math]f(x)[/math]
decresce su
[math](-e,-e^{-1})\cup(e^{-1},e)[/math]

ha i punti di massimo
[math]M_1(-e,0),\ M_2(e^{-1},-2e^{-1})[/math]
e i punti di minimo
[math]m_1(-e^{-1},2e^{-1}),\ m_2(e,0)[/math]

questo perché

[math]f(\pm e)=\pm e(\ln|\pm e|-1)=\pm e(\ln e-1)=\pm e(1-1)=0\\ f(\pm e^{-1})=\pm e^{-1}(\ln|\pm e^{-1}|-1)=\pm e^{-1}(\ln e^{-1}-1)=\\ =\pm e^{-1}(-1-1)=\mp 2e^{-1}[/math]


Derivata seconda: abbiamo

[math]f''(x)=2\ln|x|\cdot\frac{1}{x}[/math]

da cui

[math]\ln|x|\ge 0\ \Rightarrow\ |x|\ge 1\ \Rightarrow\ x\le -1,\ x\ge 1\\ \frac{1}{x}\ge 0\ \Rightarrow\ x>0[/math]

e pertanto la funzione

è convessa su
[math](-1,0)\cup(1,+\infty)[/math]

è concava su
[math](-\infty,-1)\cup(0,1)[/math]

ha i flessi nei punti
[math]F_1(-1,1),\ F_2(1,-1)[/math]

in quanto

[math]f(\pm 1)=\pm 1(\ln|\pm 1|-1)=\pm(\ln|1|-1)=\pm(0-1)=\mp 1[/math]

Il grafico è allegato.
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