bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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1) Ho qualche problema con le coordinate polari.
Sò che, ad esempio:
[math]x=\rho \cos \theta, y= \rho \sin \theta[/math]
è una circonferenza, che
[math]x=a cos t[/math]
[math] y=b sint[/math]
è un ellisse ;
[math]x=a cost,[/math]
[math] y=a sint,[/math]
[math] z=bt[/math]
è un'elica etc. ma non sò riconoscere le varie figure quando sono nella forma
[math] \rho= qualcosa[/math]
tipo, giusto per fare un paio di esempi,
[math]\rho=\sin \theta \cos \theta [/math]
o
[math]\rho=2[/math]
. Ho cercato in diversi libri ed in internet ma non ho trovato nulla. Mi potreste dare una mano a capire le varie parametrizzazioni? o se avete un pdf o un link in cui trovarle perchè sono abbastanza demoralizzata...
2)Come faccio a capire qual'è la somma di una serie di potenze? Tipo,nel caso di
[math]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{3^n}{n!e^{3e}} (x-e)^n [/math]
, riesco a intuire che è un qualcosa di simile alle serie di
[math]e^{-x} [/math]
, ma niente di più...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) Per riconoscere la forma cartesiana di una curva in forma polare (
[math]\rho=[/math]
qualcosa.... stendiamo un velo pietoso! :asd) basta usare la forma "inversa" delle coordinate polari stesse. Ad esempio per
[math]\rho=2[/math]

ricordando che
[math]\rho=\sqrt{x^2+y^2}[/math]
si ha
[math]\sqrt{x^2+y^2}=2[/math]
e quindi
[math]x^2+y^2=4[/math]
(una circonferenza... tra l'altro logicamente l'unica curva con "raggio" costante).
Per l'altra curva
[math]\rho=\sin\theta \cos\theta[/math]
, visto che
[math]\sin\theta=x/\rho,\ \cos\theta=y/\rho[/math]
si ha
[math]\rho=\frac{xy}{\rho^2}\ \Rightarrow\ \rho^3=xy\ \Rightarrow\ (x^2+y^2)^{3/2}=xy\ \Rightarrow\ (x^2+y^2)^3=x^2 y^2[/math]

che non è una curva immediatamente riconoscibile.



2) Quello che si cerca di fare è riportare la serie in una forma nota. Nel tuo caso si "vede" che c'è affinità con la serie
[math]\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}=e^t[/math]
. Possiamo procedere così
[math]\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{3^n}{n! e^{3e}}(x-e)^n= \frac{1}{e^{3e}}\sum_{n=0}^\infty \frac{[-3(x-e)]^n}{n!}=\frac{1}{e^{3e}} e^{-3(x-e)}=e^{-3x}[/math]
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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per la 2) ho capito... per l'1 ho ancora qualche dubbio su cosa possa essere
[math]\rho=\sin \theta \cos \theta[/math]
...visto le scelte possibili (retta, spirale, ellisse,circonferenza) opterei per spirale... ma, visto che sono in argomento, avrei un'altra domanda sullo stesso argomento:
trasformando una corona circolare da coordinate cartesiane a coordinate polari, si ottiene: un triangolo, un cerchio o un rettangolo?

allora, presa una corona circolare a caso,
[math]x^2+y^2>4 [/math]
e
[math]x^2+y^2<16[/math]
mi viene per la prima
[math]\rho^2>4 [/math]
e quindi valori
[math]\rho<-2 [/math]
e
[math]\rho>2[/math]
e per
[math]\rho^2<16 [/math]
valori
[math]\rho>-4 [/math]
e
[math]\rho<4[/math]
. ora, se vado a disegnarli sugli assi \rho,\theta, individuo delle rette paralle le all'asse \theta che mi danno parti di piano comprese tra le rette...allego un disegno decisamente orribile (ma è il massimo che riesco a fare con paint e senza mouse (si è rotto giusto oggi)) ma che spero riesca a far capire ciò che stò dicendo.
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