oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Ciao ragazzi.
Con quale tecnica mi consigliate di risolvere questo limite? :

[math]lim_{x \to o^+}sinx*(log(x^3))[/math]

Vi ringrazio in anticipo
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, vogliamo calcolare
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+} \sin x \cdot \log\left(x^3\right) \end{aligned}\\[/math]
.
1. Moltiplica e dividi per
[math]x[/math]
: noti nessun limite notevole?
2. Applicando una nota proprietà dei logaritmi, l'esponente...
3. Conviene manipolare un attimino per applicare Hôpital.
Provaci e poi facci sapere. ;)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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senx/x per x che tende a 0 dà 1 , ma per quanto riguarda il secondo pezzo dovrei fare una manipolazione per ricondurlo al limite notevole di ln(1+x)/x?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ok per il limite notevole, mentre per quanto riguarda la manipolazione va fatta per poter usufruire del teorema di de l'Hôpital (non è possibile ricondursi ad altri limiti notevoli, purtroppo). Dunque, si ha

[math]
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0^+} \sin x\,\log\left(x^3\right)
& = \lim_{x\to 0^+} x\frac{\sin x}{x}\,\log\left(x^3\right) \\
& = \lim_{x\to 0^+} x\log\left(x^3\right) \\
& = \lim_{x\to 0^+} \frac{3\log x}{\frac{1}{x}}
\end{aligned}
[/math]

che trattandosi di una forma indeterminata del tipo
[math]\frac{\infty}{\infty}[/math]
è possibile applicare il teorema suddetto. ;)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Perfetto , grazie.
Altre vie per risolvere il limite ci sarebbero?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Altra via è quella di di osservare che le potenze corrono al proprio limite più rapidamente dei logaritmi e quindi nel prodotto di cui sopra (forma indeterminata del tipo
[math]0\cdot \infty[/math]
) ha la meglio la potenza che quindi determina il valore del limite:
[math]0[/math]
. ;)
oiraD93
oiraD93 - Habilis - 180 Punti
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Ok , grazie mille ancora , gentilissimo!
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