reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Si calcoli, se esiste, il seguente limite
[math]\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{sin(x^2)+2x}\cdot sin\frac{1}{x}[/math]

ovvero per chi non legge latex limite per x che tende a zero di:
[(sqrt(1+x^2))-1]/sin(x^2)+2x * sin 1/x
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Allora:
Io ho fatto un cambio di variabili per ricondurlo ad un limite tendente a zero (più facile da calcolare rispetto a questo).

Chiamo (1/x)=t , quindi il limite diventa per t->0 di ((sqrt(1+1/t^2) - 1)/(sin(1/t^2) + 2/t))sin(t)

Quindi usando le equivalenze locali si trova che:
((1/2)(1/t^2)*(t))/(1/t^2 + 2/t)

quindi
(1/(2t))/((1+2t)/t^2)

cioè
lim t->0 (t/2) = 0


Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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In realtà questo è un limite che non consta di alcun conto, è sufficiente osservarlo per bene. E' presente un prodotto il cui secondo fattore evidentemente tende a
[math]0[/math]
mentre il primo è dato dal rapporto di due espressioni, il cui numeratore è asintotico ad
[math]x[/math]
mentre il denominatore è asintotico a
[math]2x[/math]
, e quindi globalmente si ha che il primo fattore è asintotico ad
[math]1/2[/math]
. Vien da sé che il prodotto tenda a
[math]0[/math]
. Bye ;)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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scusate ma ho sbagliato a scrivere il limite dato deve tendere a 0 non all'infinito...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Anche in tal caso di conti nemmeno l'ombra. L'unica complicazione sta nel fatto che è buona cosa ricordare il seguente limite notevole:
[math]\lim_{t\to 0}\frac{(1+t)^a-1}{t}=a[/math]
, con
[math]a\in \mathbb{R}[/math]
. A quel punto è sufficiente moltiplicare e dividere per
[math]x^2[/math]
, fare uso di tale limite notevole, ottenendo:
[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{sin\left(x^2\right)+2x}\\[/math]
.

Ora, o si fanno nuovamente delle considerazioni di carattere qualitativo, oppure occorre fare riferimento allo sviluppo in serie di Maclaurin del seno e all'algebra degli "o piccolo" (a questo
punto, anche se nel caso specifico funzionerebbe, ricorrere ai limiti notevoli è in generale scorretto).
In particolare, si ha:

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{x^2+o\left(x^2\right)+2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{o(x)+o\left(x^2\right)+2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{o(x)+2x}\\=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}\frac{sin(1/x)}{2x\left(1+o(1)\right)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{4}\sin\left(1/x\right)\;.\\[/math]


Quindi non credo sia difficile notare che tale limite esista e valga
[math]0[/math]
, in quanto seppur il secondo fattore oscilli con valori appartenenti all'intervallo
[math][-1,\,1][/math]
, il primo fattore tendendo a zero
trascina a tale valore l'intero prodotto ;)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Scusate mi potete sp
iegare meglio non riesco a capire cosa sono questi o piccoli..
Non c`e un altro metodo per risolverlo
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Se non gradisci gli "o piccolo" che nascono inevitabilmente dal troncamento dello sviluppo in serie, allora non ti rimane che usufruire del teorema di de l'Hôpital nel modo seguente:
[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2\left(\sin\left(x^2\right)+2x\right)}\sin(1/x)\overset{H}{=}\lim_{x\to 0}\frac{x}{2\left(x\,\cos\left(x^2\right)+1\right)}\sin(1/x)=0\\[/math]
.
Va meglio, ora? :)
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Il teorema di de l'hopital non l'ho studiato.
Non c'è proprio un altro metodo più semplice
magaricon l'utilizzo di limiti notevoli.
Se mi potete aiutare vi sarei grato..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Gli "o piccolo" non li conosci, il teorema di de l'Hôpital non lo hai studiato e la risoluzione tramite i limiti notevoli applicati come segue (*)

[math]
\begin{align}

&\cdots \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\sin\left(x^2\right)+2x}\sin\left(1/x\right)

= \lim_{x\to 0} \frac{x^2\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(\sin\left(x^2\right)+2x\right)}\\

&\overset{(*)}{=}\lim_{x\to 0} \frac{x^2\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(x^2+2x\right)}

= \lim_{x\to 0} \frac{x\,\sin\left(1/x\right)}{2\left(x+2\right)}

= \lim_{x\to 0} \frac{x}{4}\sin\left(1/x\right)

= 0 \\

\end{align}
[/math]


non è formalmente corretta seppur fortuitamente porti al risultato giusto (scritto e sottolineato sopra e qui dimostrato). Mi potresti spiegare come vorresti risolverlo? Io sinceramente quello che dovevo mostrarti te l'ho scritto, per il resto prova con una preghierina che magari si calcola da solo :D
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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allora,
incominciamo con il dire che 2x*sin1/x tende a zero per x-->0 perchè 2x tende a zero e sin 1/x oscilla tra -1 e 1
per quanto riguarda il primo addendo,lo si può scrivere nalla forma
[(1+x^2)^1/2-1]/(x^2)*((x/2)/sinx/2)*2x
per i primi 2 fattori abbiamo a che fare con due limiti notevoli : il primo tende a 1/2 e il secondo a 1
quindi il limite del primo addendo è 1/2*1*0=0
nel complesso il tuo limite vale 0

p.s.
tutto quello che ho detto potrebbe essere contestato dalla signora del latex
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ora, io non sono né il "signor LaTeX" né altro e sinceramente per un esercizio del genere sono intervenuto fin troppe volte. Però, ecco, il limite che il ragazzo ha scritto in LaTeX è ben differente da quello che ha scritto "in maniera normale" tralasciando una coppia di parentesi fondamentale e che quindi porta alla tua interpretazione, rino6999 (corretta ma non quella desiderata, credo). Infatti, per aver concordanza tra le due scritture, si sarebbe dovuto scrivere:

lim_{x \to 0} (sqrt(1 + x^2) - 1) / (sin(x^2) + 2x) * sin(1/x) .

Che altro aggiungere, penso che i fatti parlino da soli. La "doppia scrittura" credo sia buona cosa per avere più voci che possano contribuire in questo bellissimo Forum ma occorre molta cautela: se con LaTeX eventuali errori di scrittura sono successivamente evidenziati, nella scrittura "standard" purtroppo ciò non accade.

Saluti.
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