Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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Ciao a tutti, qualcuno mi può dare una mano con questa serie? Si tratta di studiarne le proprietà di convergenza e calcolarne la somma.

[math]\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-1)^n}{(n+1)!}[/math]

per le proprietà di convergenza l'ho vista come serie di potenze, e applicando il criterio del rapporto mi è venuto fuori il limite di 1/(n+1) che è zero; quindi il raggio di convergenza mi viene +infinito e la serie converge in tutto R... è sbagliato?
E la somma come la trovo?
Grazie in anticipo per le risposte.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quello che fai è giusto: il raggio di convergenza è infinito, quindi la serie converge dappertutto. Puoi arrivare alla stessa conclusione (e a calcolare anche la somma della serie) facendo la seguente posizione
[math]t=x-1[/math]
che trasforma la tua serie nella seguente:
[math]S=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{(n+1)!}[/math]

Per determinarne il comportamento, fai il seguente cambiamento nell'indice di somma, ponendo
[math]n+1=m[/math]
da cui la nuova espressione della serie
[math]S=\sum_{m=1}^\infty \frac{t^{m-1}}{m!}=\frac{1}{t}\sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m!}[/math]

A questo punto, tutto ciò che devi fare è ricordare lo sviluppo in serie della funzione esponenziale
[math]e^t=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}[/math]

da cui per la tua serie

[math]S=\frac{1}{t}\sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m!}=\frac{1}{t}\left(\sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{m!}-1\right)=\frac{1}{t}(e^t-1)[/math]

e sostituendo il valore di
[math]t[/math]
trovato prima
[math]S=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{(n+1)!}=\frac{e^{x-1}-1}{x-1}[/math]
.
Spero i passaggi siano chiari.

OSSERVAZIONE: nota che la funzione ottenuta non risulta definita in
[math]x=1[/math]
(si annulla il denominatore). Tuttavia, se
[math]t=x-1[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{x-1}-1}{x-1}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1[/math]

(è un limite notevole) e quindi la serie converge ad un valore finito anche in tale punto!
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