Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Discutere, al variare dei parametri reali h e k, e
determinare le eventuali soluzioni del sistema:

[math]x + y + 2z = 1 [/math]

[math]hy + z = 2 [/math]

[math] x + y + kz = 0[/math]

Questa risposta è stata cambiata da TeM (26-07-14 17:33, 3 anni 25 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Anche se mi pare una cosa davvero strana che non abbiate affrontato il metodo
di eliminazione di Gauss
(è davvero una pietra miliare), vediamo come affrontare
il calcolo del rango attraverso il metodo dei minori.

Avendo ben presente la definizione di rango scritta in precedenza, una matrice
[math]M[/math]
con
[math]n[/math]
righe ed
[math]m[/math]
colonne a componenti reali ha rango pari ad
[math]r[/math]
se:
1) esiste almeno un minore di ordine
[math]r[/math]
con determinante non nullo;
2) tutti i minori di ordine
[math]r + 1\\[/math]
(se esistono) hanno determinante nullo.
Osservazioni:
a) se esiste un minore di ordine
[math]h[/math]
con determinante non nullo, allora
[math]rg(M) \ge h[/math]
;
b) se
[math]M[/math]
ha
[math]n[/math]
righe e
[math]m[/math]
colonne si ha sempre
[math]0 \le rg(M) \le \min\{m,\,n\}[/math]
;
c) se
[math]rg(M) = 0[/math]
si tratta di una matrice nulla, mentre se
[math]rg(M) = \min\{m,\,n\}[/math]
si dice che
[math]M[/math]
ha rango massimo;
d) se
[math]M[/math]
è quadrata di ordine
[math]n[/math]
allora
[math]rg(M) = n \; \Leftrightarrow \; \det(M) \ne 0\\[/math]
.
Ora, considerando le matrici
[math]A[/math]
e
[math]A|b[/math]
, dato che
[math]\small \det(A) = h(k - 2)[/math]
si
nota subito che nei casi in cui
[math]h \ne 0 \; \land \; k \ne 2[/math]
si ha
[math]\small rg(A) = rg(A|b) = 3[/math]
,
quindi per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema in esame è compatibile e la
soluzione (unica), grazie al metodo di Cramer, è la seguente:

[math]\small x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & h & 1 \\ 0 & 1 & k \end{vmatrix}}{\det(A)} = \frac{hk -2k + 3}{h(k - 2)} \; ; \; y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & k \end{vmatrix}}{\det(A)} = \frac{2k-3}{h(k - 2)} \; ; \; z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & h & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{\det(A)} = \frac{1}{2-k}\\[/math]
.
D'altro canto, per
[math]h = 0 \; \vee \; k = 2[/math]
, essendo
[math]rg(A) = 2 \ne rg(A|b) = 3[/math]
, per
il teorema di Rouchè-Capelli il sistema in esame è incompatibile e quindi non presenta
soluzione. Dunque mi pare che più o meno ci siamo. ;)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, siamo interessati alla risoluzione del sistema lineare
[math]A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}\\[/math]
, dove:
[math]A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & h & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{x} := \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{b} := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,.\\[/math]


Per stabilire l'esistenza e l'unicità delle soluzioni è bene fare riferimento al teorema di
Rouchè-Capelli
, secondo cui un sistema di equazioni
[math]A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}[/math]
ammette soluzioni
(è compatibile) se e solo se il rango della matrice dei coefficienti
[math]A[/math]
è uguale al rango
della matrice completa
[math]A|b[/math]
:
[math]rg(A) = rg(A|b)[/math]
. Inoltre, detta
[math]n[/math]
la lunghezza
di
[math]\mathbf{b}[/math]
, tale sistema:
- ammette un'unica soluzione se
[math]rg(A) = rg(A|b) = n[/math]
;
- ammette infinite soluzioni se
[math]rg(A) = rg(A|b) < n\\[/math]
.
In questo caso, molto semplicemente, si nota che:

- per
[math]h = 0\, \vee \, k = 2[/math]
si ha
[math]rg(A) = 2 \ne rg(A|b) = 3[/math]
,
e quindi in tali casi il sistema non ammette soluzione;

- per
[math]h \ne 0\, \land \, k \ne 2[/math]
si ha
[math]rg(A) = rg(A|b) = n = 3[/math]
,
e quindi in tali casi il sistema ammette un'unica soluzione (a te
determinarla).

Ok? :)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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Prima di tutto grazie per avermi risposo :)
però c'ho due domande da chiedergli:
1) che è questa teorema di Rauchè-Capelli?
2) non ho capito bene da qst punto in poi (chiedo di scusarmi in anticipo per l'ignoranza)
per h=0 e k= 2 etc..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Quando all'interno di un sistema vi sono uno o più parametri è interessante vedere
come, al loro variare, il sistema può ammettere nessuna, una o infinite soluzioni.
Siccome qui è possibile racchiudere molta teoria di algebra lineare questo tipo di
esercizi è piuttosto gettonato sia negli esami di maturità scientifica che nei corsi
base di Geometria e Algebra Lineare, appunto.

Ora, però, mi metti in seria difficoltà: non conoscendo il teorema suddetto non si
riesce nemmeno a cominciare l'esercizio. Infatti, prima occorre capire in quali casi
non si ha soluzione e quali in cui essa è presente, e in quest'ultimi casi se è unica
oppure se ne esistono infinite. Solamente dopo, nei casi in cui vi siano soluzioni, si
passa al calcolo vero e proprio tramite, ad esempio, il metodo di Cramer.

Ma non è finita qui. Per poter comprendere il teorema di cui sopra occorre conoscere
almeno la definizione di rango di una matrice, meglio occorre essere in grado di cal-
colarlo applicando con padronanza la definizione. C'è da dire che sono tutti concetti
molto semplici da studiare ma finché non li si affrontano rendono il tutto di difficile
comprensione.

Non so, magari scrivi come pensavi di svolgere l'esercizio (cosa che solitamente
è richiesta in questo forum) abbozzando qualche passaggio che così possiamo
discuterne assieme con profitto. :)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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allora sinceramente non avevo studiato la teoria x nnt xò dai adesso comincio a vedere tutte le cose k mi ha elencato qui e se c'è qlcs che non capisco posso chiedere a lei?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Direi che è la cosa più saggia studiare almeno le cose che ti ho elencato.
A quel punto puoi chiedere qui tutto ciò che non ti è chiaro e quindi pro-
vare a discutere il sistemino in oggetto.

P.S.: dammi pure del tu. ;)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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correggermi se sbaglio le cose che devo sapere per forza prima di cominciare qst esercizio sono:
-rango di una matrice;
-metodo di cramer;
-teorema degli orlati.
e basta giusto??
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ti dirò, per risolvere questo esercizio occorre conoscere il teorema di
Rouchè-Capelli
che a sua volta implica la conoscenza del calcolo del
rango di una matrice. A quel punto, per calcolare la soluzione nei casi
in cui è unica, è bene conoscere il metodo di Cramer. Tutto qui. :)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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grazie mille adesso comincio a vedere subito qst 2 teoremi :)

Aggiunto 19 ore 50 minuti più tardi:

allora per quanto riguarda metodo Cramer e Teorema di Rauchè Capelli sto studiando ormai da 2 gg e qlcs sono riuscita a capire pure l'unico dubbio e su una cosa stupida e quando devo dire quanto vale un rango, spiego meglio prendo stesso esercizio di prima, so k A ha le dimensione 3 x 4 quindi il rango o A(rg) sarà =< 3 per capire se è veramente uguale a 3 faccio i determinati se tutto mi porta = 0 allora sarà 2 sennò = 3 solo qst passaggio non riesco a capire.
l'ultima cosa adesso qst due cose Cramer e Rauchè-Capelli come devo applicare al esercizio????? Mi puoi aiutare PER FAVORE???
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Adesso che ti sei fatta perlomeno un'idea dei vari concetti che servono per
risolvere quest'esercizio posso realmente darti una mano (almeno ci provo).

Definizione di rango di una matrice. Data una matrice
[math]M[/math]
con
[math]n[/math]
righe
ed
[math]m[/math]
colonne a componenti reali, si definisce rango di
[math]M[/math]
(e molte volte
lo si indica con
[math]rg(M)[/math]
) il massimo numero di vettori riga (o vettori colonna)
linearmente indipendenti tra di loro (ossia che uno non si possa scrivere come
somma degli altri moltiplicati per opportuni parametri reali).

Calcolo del rango di una matrice. Ci sono essenzialmente due strade: la prima
prevede l'applicazione del criterio dei minori (che a mio avviso è la più contorta),
mentre la seconda consiste nell'applicare la procedura di eliminazione gaussiana.

Metodo di eliminazione di Gauss. Attraverso l'applicazione di operazioni
elementari dette mosse di Gauss (scambiando due righe oppure moltiplicando
una riga per un numero non nullo oppure sommando una riga ad un multiplo di
un'altra riga) riduce la matrice in una forma detta a scalini (la quale presenta
tutti zeri al di sotto della diagonale principale). In una matrice siffatta, si definisce
pivot il primo elemento non nullo di una riga (se esiste), procedendo da sinistra
verso destra.

Calcolo del rango attraverso l'eliminazione gaussiana. Il rango di una matrice
non ridotta
[math]\small M[/math]
coincide con il numero di pivot della matrice ridotta
[math]\small \tilde{M}\\[/math]
.
Vediamo subito di applicare tale algoritmo alle matrici di cui sopra. Considerando,
ad esempio, la matrice dei coefficienti
[math]A[/math]
, ci si accorge che è facilmente riducibile
ad una matrice
[math]\tilde{A}[/math]
a scalini applicando la seconda e la terza mossa di Gauss elen-
cate, ossia moltiplicando la terza riga per
[math]-1[/math]
e sommandovi la prima riga. Così
facendo si ottiene quanto segue:
[math]\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & h & 1 \\ 0 & 0 & 2-k \end{pmatrix}[/math]
. Ebbene, una volta
arrivati a questo punto è sufficiente guardare in faccia la matrice ottenuta: nel caso in
cui
[math]h \ne 0 \, \land \, k \ne 2[/math]
i pivot sono tre (tutte e tre le righe ne sono datate) e quindi
[math]rg(A) = 3[/math]
, mentre se
[math]\small h = 0 \, \vee \, k = 2[/math]
i pivot sono due, quindi
[math]rg(A) = 2\\[/math]
.
Ecco, una volta arrivati qua il "difficile" è passato, in quanto ora l'applicazione del
teorema di Rouchè-Capelli (che sopra ti ho scritto per esteso) è immediata. Per
quanto riguarda l'applicazione del metodo di Cramer nel calcolo della soluzione
(nei casi in cui è unica) non credo ci sia da dire molto, è davvero semplice. No? :)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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allora io ho fatto così, no lo so se è giusto o no..... poi noi non abbiamo fatto Gauss quindi no lo so come si fa cn qst metodo :( :( non va bene così?
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