peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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Ciao ragazzi, scrivo di nuovo per chiedere una mano al popolo di skuola.
Il problema è che non so se sono riuscito a capire bene il funzionamento delle applicazioni lineari.
Posto un esercizio e la risoluzione che ho dato io per capire se ragiono bene, ovvero se ho capito come fare.

1. Sia data l’applicazione lineare f : R2 −→ R2 f(e1) = 3e1 − 3e2,
f(e2) = 2e1 − 2e2. Si calcoli ker.

Ora l'esercizio l'ho così risolto:

L(x,y) = L(xe1 + ye2) =
= xL(e1) + yL(e2) =
= x(3e1 - 3e2) + y(2e1 - 2e2) =
= L(x,y) = (3x + 2y, -3x -2y) =
ker(L) = {(x,y)| L(x,y) = (3x + 2y, -3x -2y) = (0,0)} =
= {3x + 2y = 0, -3x -2y = 0}.
E ora la soluzione qual è? (si lo so che sembra scemo m mi sono bloccato qui
P.S. sul libro OVVVIAMENTE non ci sono le soluzioni -.-)
Grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Hai risolto correttamente. A questo punto si tratta di trovare la soluzione del sistema

[math]3x+2y=0,\qquad -3x-2y=0[/math]

Se osservi attentamente, ti accorgi che in realtà le due equazioni sono identiche, per cui la soluzione è data dalla risoluzione di

[math]3x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-\frac{2}{3} y[/math]

e quindi si ha

[math]\ker(L)=\left\{\left(-\frac{2}{3} y, y\right)\ |\ y\in\mathbb{R}\right\}[/math]

Ne segue che
[math]\dim\ \ker(L)=1[/math]
poiché i vettori che ne fanno parte dipendono da un solo parametro e che
[math]B=\{(-2,3)\}[/math]
(ottenuta scegliendo
[math]y=3[/math]
) è una base.
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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Ok, grazie mille.
Per trovare invece l'immagine io dico che l'immagine è 2, perché la dimensione di
[math]R^2[/math]
è 2, è corretto anche questo?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No: in questo caso devi usare il teorema delle dimensioni che afferma quanto segue: se
[math]F:V\rightarrow W[/math]
è una applicazione lineare tra due spazi vettoriali, allora si ha
[math]\dim V=\dim(\ker(F))+\dim(Im(F))[/math]

Per cui...
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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Per cui sarebbe 3 oppure non ho capito come si trova
[math]dim(Im(F))[/math]
?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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In questo caso
[math]V=\mathbb{R}^2[/math]
e quindi
[math]\dim(Im(F))=2-1=1[/math]

Un minimo di attenzione nell'applicare le cose che ti vengono dette (e che, tra l'altro, dovresti conoscere prima di lanciarti in risoluzioni di esercizi di vario genere) sarebbe gradita!
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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Scusami ma sulle dispense su cui sto studiando non riesco a capire il metodo con il quale trovare la dimensione dell'immagine. Non sarò in grado io di trovarlo o non so cosa ma non riesco a capirlo...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ti ho scritto la "formula", asta applicarla. Qual è il problema?
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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Mi hai scritto la formula della dimensione di V, ma quella dell'immagine? E' diversa suppongo e non ho capito come trovarla. Adesso mi sento un idiota perché da come parli sembra che tu mi stia dicendo in tutti i modi la stessa cosa ma io non la vedo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma mi stai prendendo in giro? Scusa, se n è la dimensione di V, k la dimensione dle nucleo e i quella dell'immagine, quella formula vuol dire

n=k+i

Ora, non sai neanche risolvere le equazioni o non sei capace a leggere? E, ribadisco, il cervello, per studiare un esame, si accende: altrimenti ti ritrovi uno come me come docente che ti manda a casa senza tanti complimenti!
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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A me manca i, come faccio a trovare i?

Aggiunto più tardi:

Aspetta, non è che devo fare n-k?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma dai?????
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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E va bene, io ti volevo chiedere se ci fosse un modo diverso da quell'equazione per trovare la dimensione dell'immagine.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No, non c'è: quel teorema è una cosa talmente forte che non c'è necessità di usare altri metodi, non trovi?
peduz91
peduz91 - Genius - 2513 Punti
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Decisamente, ma siccome sto facendo confusione vorrei mettere dei paletti sulle cose che sono riuscito a capire. Grazie mille.
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