miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Avrei bisogno della dimostrazione del criterio di Weierstrass per la convergenza delle serie di funzioni, ma non riesco a trovarla da nessuna parte!! Il criterio dovrebbe essere il seguente:

Sia
[math]f_n:R->R[/math]
una successione di funzioni a valori reali. Se per ogni n esiste un
[math]M_{k}>=0[/math]
tale che
[math]|f_{n}(x)|<=M_{n}[/math]
e si ha che la serie su k degli
[math]M_{k}[/math]
converge, allora la serie della successione iniziale
[math]f_{n}[/math]
converge totalemente ed uniformemente.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come si dimostra??
Inoltre non ho ben capito una cosa: questo criterio serve per dimostrare che la convergenza totale implica la convergenza uniforme?? o dice solo che se sono verificate le ipotesi del teorema la convergenza della serie è totale ed uniforme, senza però mettere in relazione i due tipi di convergenza?? Grazie a tutti in anticipo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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L'enunciato corretto è il seguente:

Sia
[math]\{f_n(x)\}[/math]
una successione di funzioni
[math]f_n:A\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math]
. Se esiste una successione numerica
[math]\{M_n\}[/math]
a termini non negativi (
[math]M_n\geq 0[/math]
per ogni
[math]n[/math]
) tale che
1) per ogni
[math]n[/math]
si ha
[math]|f_n(x)|\leq M_n[/math]
per ogni
[math]x\in A[/math]
;
2) la serie
[math]\sum_{n=0}^\infty M_n[/math]
converge
allora la serie
[math]\sum_{n=0}^\infty f_n(x)[/math]
converge totalmente ed uniformemente.
DIMOSTRAZIONE: Consideriamo la successione delle somme parziali
[math]S_n(x)=\sum_{k=0}^n f_k(x)[/math]
. Se
[math]m>n[/math]
allora
[math]\left|S_m(x)-S_n(x)\right|)\left|\sum_{k=0}^m f_k(x)-\sum_{k=0}^n f_k(x)\right|=
\left|\sum_{k=n+1}^m f_k(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^m|f_k(x)|[/math]

dove si è usata la disuguaglianza triangolare per l'ultima disuguaglianza. Per l'ipotesi di maggiorazione delle funzioni si ha allora

[math]\left|S_m(x)-S_n(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^m M_k[/math]
.
Dalla convergenza della serie numerica si ricava che (per definizione) per ogni
[math]\epsilon>0[/math]
esiste
[math]n_\epsilon[/math]
tale che per ogni
[math]n>n_\epsilon[/math]
si ha
[math]\sum_{k=n}^\infty M_k<\epsilon[/math]
. Se allora
[math]m>n>n_\epsilon[/math]
si ha
[math]\left|S_m(x)-S_n(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^m M_k\leq\sum_{k=n+1}^\infty M_k<\epsilon[/math]

da cui segue che la successione delle somme parziali è di Cauchy e quindi converge al valore
[math]S(x)[/math]
. Se allora
[math]m\to+\infty[/math]
abbiamo
[math]\left|S(x)-S_n(x)\right|<\epsilon[/math]
per ogni
[math]n>n_\epsilon[/math]

e quindi la serie converge uniformemente. La convergenza totale è assicurata per definizione. QED

Osservazione: il teorema collega effettivamente i due tipi di convergenza, anche se non in maniera immediata. La cosa infatti si vede dalla dimostrazione: l'enunciato del Teorema implica, per definizione, la convergenza totale mentre, dalla dimostrazione, arrivando a dimostrare che sussiste la convergenza delle somme parziali, si conclude che la serie converge uniformemente.
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