O.G.R.E.
O.G.R.E. - Ominide - 2 Punti
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Salve a tutti,
Domani ho un compito di Geometria incentrato sul Teorema di Euclide, il primo e il secondo, non ci ho capito molto e chiedo se qualcuno puo spiegarlo facilmente e con tutte le formule possibili
Gianlu!
Gianlu! - Sapiens Sapiens - 1674 Punti
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Ciao :)
Il primo teorema di Euclide dice che:
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.



L'interpretazione algebrica che ne deriva è:

[math]c_1^{2} = (i)(p_{1})\\
c_{1} = \sqrt{(i)(p_{1})}\\
i = \frac{c_{1}^{2}}{p_{1}}\\
p_{1} = \frac{c_{1}^{2}}{i}\\
Analogamente\ per \ c_{2}[/math]

Il secondo dice che:
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.



L'interpretazione algebrica è:
[math]h^{2} = (p_{1})(p_{2})\\
h = \sqrt{(p_{1})(p_{2})}\\
p_{1} = \frac{h^{2}}{p_{2}}\\
p_{2} = \frac{h^{2}}{p_{1}}
[/math]

Se non ti è chiaro qualcosa, dimmi ;)
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Allora:
Il primo teorema di Euclide enuncia che: in ogni triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.





Sia
[math]ABC[/math]
un triangolo rettangolo dove
[math]A \hat B C\cong 90°[/math]
. Costruiamo un quadrato su AB (
[math]ABDE[/math]
) ed un rettangolo
[math]AGIH[/math]
avente per lati
[math]GI\cong AH\cong AC[/math]
. Se prolunghiamo i lati
[math]AH\ \ e\ \ GI[/math]
del rettangolo e
[math]ED[/math]
del quadrato, otteniamo un parallelogramma
[math]ABLK[/math]
perché ha i lati opposti paralleli ed un triangolo rettangolo
[math]AEK[/math]
.

Come facciamo a capire che il triangolo rettangolo (in giallo) è retto? L'idea è che il quadrato verde è un poligono regolare, ciò vuol dire che è equilatero ed equiangolo, avente quatto angoli retti. Il triangolo
[math]A \hat B C\cong 90°[/math]
è retto per ipotesi; mentre
[math]E \hat A H\cong B \hat A C[/math]
sono complementari di uno stesso angolo
[math]K \hat A B[/math]
, ciò vuol dire che la somma di
[math]E \hat A H+K \hat A B\cong 90°,\ K \hat A B+B \hat A C\cong 90°[/math]
ossia la somma di due angoli è un angolo retto.




Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli (in giallo)
[math]EAK\ \ e\ \ ABC[/math]
sono uguali. Per tale relazione , di conseguenza
[math]AK\cong AC[/math]
ed essendo
[math]AC\cong GI[/math]
, per transitività si ha che
[math]AK\cong GI[/math]
.




Se consideriamo il parallelogrammo
[math]P[/math]
ed il rettangolo
[math]R[/math]
, vediamo che hanno la stessa base e la stessa altezza, ed essendo che l'area del parallelogramma e del rettangolo si calcola facendo
[math]b\cdot h[/math]
, allora si avrà che le due figure hanno la stessa area, in simboli:
[math]P \doteq R[/math]
.




Ora consideriamo il quadrato
[math]Q[/math]
ed il parallelogramma
[math]P[/math]
. Anch'essi hanno la stessa base e la stessa altezza, quindi anch'essi sono equivalenti:
[math]Q \doteq P[/math]
. Ed essendo il parallelogramma
[math]P[/math]
equivalente al rettangolo
[math]R[/math]
, per transitività si ha che anche
[math]Q \doteq R[/math]
.

In definitiva, questa dimostrazione vuole simboleggiare che, ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. In formule:

[math]AC:AB=AB:AG\\
AC:BC=BC:CG[/math]


La dimostrazione del secondo teorema di Euclide è più complicata per i ragazzi delle medie, quindi va bene ciò che ti è già stato fornito da Gianlu! :)

Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi
Gianlu!
Gianlu! - Sapiens Sapiens - 1674 Punti
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Fra', la seconda è più corta e facile, in quanto si deve solo applicare il primo teorema e Pitagora, ma comunque alle medie non mi pare si facciano le dimostrazioni. ;)
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