Alchester
Alchester - Erectus - 109 Punti
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a.In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa divide l'angolo retto in due angoli, uno dei quali ha l'ampiezza di 40°. Calcola l'ampiezza di ciascuno degli angoli acuti del triangolo.

b. In un triangolo isoscele ciascuno deli angoli alla base supera di 30° l'angolo al vertice. Calcola la misura degli angoli di ciascuno dei triangoli che si ottengono tracciando la bisettrice di uno degli angoli congruenti.
strangegirl97
strangegirl97 - Genius - 11137 Punti
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Problema 1
Questo è il nostro triangolo:


L'altezza relativa all'ipotenusa CH divide l'angolo retto
[math]\hat{C}[/math]
in due angoli e l'angolo
[math]A\hat{C}H[/math]
è ampio 40°. In più, l'altezza divide il triangolo ABC in due triangoli rettangoli. Esaminiamo il triangolo AHC. Sappiamo che:
[math]A\hat{C}H = 40^o [/math]
[math] A\hat{H}C = 90^o [/math]

Di conseguenza per calcolare l'ampiezza dell'angolo
[math] \hat{A}[/math]
bisognerà sottrarre alla somma degli angoli interni (180°) le ampiezze degli altri due angoli di AHC.
[math] \hat{A} = 180^o - A\hat{C}H - A\hat{H}C[/math]

Passiamo al triangolo CHB. Sappiamo che l'angolo
[math] C\hat{H}B [/math]
è ampio 90°. E gli altri due?
[math] H\hat{C}B[/math]
è uno dei due angoli in cui CH divide l'angolo retto
[math] \hat{C}[/math]
. Se
[math]A\hat{C}H[/math]
è ampio 40°, questo sarà ampio 50°.
L'ampiezza dell'angolo
[math] \hat{B}[/math]
va calcolata con un procedimento analogo a quello usato prima:
[math] \hat{B} = 180^o - C\hat{H}B - H\hat{C}B[/math]

Tutto chiaro? Fra un po' posto il secondo.

Aggiunto 30 minuti più tardi:

Secondo problema


Questo è il disegno. Tanto per cominciare dobbiamo calcolare le ampiezze degli angoli del triangolo isoscele. Usiamo il sistema dei segmenti. Questo segmento rappresenta l'angolo al vertice
[math]\hat{C}[/math]
.
|---------------| =
[math]\hat{C}[/math]

Gli angoli alla base
[math]\hat{A}[/math]
e
[math]\hat{B}[/math]
sono congruenti (come in tutti i triangoli isosceli) e le loro ampiezze superano quella dell'angolo al vertice di 30°.
|---------------|------| =
[math]\hat{A}[/math]

|---------------|------| =
[math]\hat{B}[/math]

I segmenti verdi rappresentano i 30° eccedenti. Adesso costruiamo il segmento somma, ricordandoci che nei triangoli la somma degli angoli interni è di 180°.
|---------------|---------------|------|---------------|------| =
[math] \hat{C} + \hat{A} + \hat{B} = 180^o [/math]

Immaginiamo di togliere i due segmenti verdi che, ricordiamo, hanno ognuno un valore di 30°: otterremo tre segmenti congruenti la cui somma sarebeb uguale a 120°.

|---------------|---------------|---------------| = 180° - 30°*2 = 180° - 60° = 120°

Questo significa che ognuno di questi segmenti avrà un valore di 40°. Ma un momento: il segmento che rappresenta l'angolo
[math]\C[/math]
è lungo quanto ognuno di questi tre, il che vuol dire che
[math]\hat{C}[/math]
è ampio 40°.
Dunque:
[math] \hat{A} = \hat{C} + 30^o = 40^o + 30^o = 70^o\\
\hat{B} = \hat{C} + 30^o = 40^o + 30^o = 70^o [/math]

AL è la bisettrice dell'angolo
[math]\hat{A}[/math]
, che perciò viene diviso a metà in due angoli ampi entrambi 35°. Quale sarà l'ampiezza degli angoli dei triangoli ALB e ALC? Consideriamo il primo. Sappiamo che:
[math] \hat{B} = 70^o [/math]
[math]B\hat{A}L = 35^o [/math]

Perciò:
[math] A\hat{L}B = 180^o - \hat{B} - B\hat{A}L [/math]

Il procedimento da usare per il triangolo ALC è praticamente lo stesso. :)

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