Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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problemi sul cono
1° problema
un cono ha l'area della superficie laterale di 624 pgreco cm^2 e il raggio di base lungo 24 cm. calcola l'area della superficie totale di un cilindro equivalente al cono e avente l'altezza congruente ai 15/13 dell'apotema del cono. (r. 608 pgreco cm^2).

2° problema
un fermacarte di cristallo (ps 2.65) alto 9 cm è formato da due semisfere, aventi i cerchi massimi concentrici. sapendo che i raggi delle due semisfere differiscono di 12 mm, calcola l'area della superficie e il peso del fermacarte. (r. 93.24 pgreco cm^2 - 1064.92 g)

3° problema
un solido alto 24cm, è formato da due cilindri e un cono sovrapposti aventi le basi concentriche. il primo cilindro ha l'altezza congruente al doppio di quella del secondo cilindro,la cui altezza è congruente a quella del cono. il raggio del primo cilindro e l'apotema del cono misurano entrambi 10 cm. calcola la superfice del solido sapendo che ha volume di 1869.5 pgreco cm^3. (r. 570 pgreco cm^2)

4° problema
un solido di ferro(ps 7.8) è formato da un prisma regolare quadrangolare sormontato da una piramide avente per base la base superiore del prisma. il solido pesa 49920 g e lo spigolo della base comune misura 20 cm. sapendo che il prisma e la piramide sono equivalenti, calcola l'area della superficie del solido. (r. 2080 cm^2)

grazie.
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, LetiAlex! Ho letto il messaggio che mi hai lasciato sul muro ed eccomi qua. In realtà Anthrax avrebbe ragione a consigliarti di provare prima a risolvere questi problemi per conto tuo, dal momento che sono oltretutto piuttosto lunghi e complessi. Postare il tuo tentativo di soluzione sarebbe poi molto utile ai moderatori o tutor per capire dove sbagli e correggerti.
Ti posto molto volentieri le soluzioni, tuttavia la prossima volta mi farebbe piacere poter leggere anche i tuoi tentativi. Che pensi?
Intanto ecco qua...

Un cono ha l'area della superficie laterale di 624 pgreco cm^2 e il raggio di base lungo 24 cm. calcola l'area della superficie totale di un cilindro equivalente al cono e avente l'altezza congruente ai 15/13 dell'apotema del cono. (r. 608 pgreco cm^2).

Due solidi sono equivalenti quando hanno lo stesso volume.
Dobbiamo dunque, prima di tutto calcolare il volume del cono, sapendo che è identico a quello del cilindro.

V(cono) = A(base) x H/3 = πR^2 x H/3 = π24^2 x H/3 = π576 x H/3 = π 192 x H cm^3

Vediamo di calcolare l'altezza del cono conoscendone l'area laterale.
A(lat) cono = perimetro x apotema/2 = 624 π cm^2
perimetro = 2πR = 2π24 = 48π cm

Quindi:
A(lat) = 48 π x apotema/2 = 24π x apotema = 624 cm^2
apotema = 624 π/24π = 26 cm

Nel cono l'altezza di base è il cateto verticale di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa l'apotema e per cateto orizzontale il raggio di base.
Possiamo duqnue trovare H grazie al teorema di pitagora:
H = radice di (26^2 - 24^2) = 10 cm

Allora: V(cono) = 192 π x H = 192π x 10 = 1920 π cm^3 = V(cilindro)

L'area del cilindro è pari a:
h(cilindro) = 15/13 x apotema = 15/13 x 26 = 30 cm

Noto il volume del cilindro e la sua altezza, è possibile clacolare il raggio di base:
V(cilindro) = area base x h = 1920 π cm^3
V(cilindro) = πR^2 x h = 1920π cm^3
R (cilindro) = radice di (V/πh) = radice di (1920π/π30) = radice di (64) = 8 cm


A(lat) = perimetro x h = 2πR x h = 2π8 x 30 = 480 π cm^2
A(tot)= A(lat) +2A (base) = 480 π + 2(πR^2) = 480 π + 2(π64) = 480 π + 128π = 608 π cm^2


un fermacarte di cristallo (ps 2.65) alto 9 cm è formato da due semisfere, aventi i cerchi massimi concentrici. sapendo che i raggi delle due semisfere differiscono di 12 mm, calcola l'area della superficie e il peso del fermacarte. (r. 93.24 pgreco cm^2 - 1064.92 g)

Trattandosi di due semi-sfere, possiamo dire che:
R1 = H1
R2 = H2


Si sa che: H1 + H2 = 9 cm, cioè R1 + R2 = 9 cm.
E che: R1 - R2 = 12 mm = 1,2 cm

Quindi, si ricava che: R1 = R2 + 1,2 cm
Sostituendo questo valore nella prima espressione...
(R2 + 0,12 cm) + R2 = 9 cm
2R2 = 9 -1,2 = 7,8 cm
R2 = 7,8/2 = 3,9 cm


R1 = R2 + 1,2 cm = 3,9 + 1,2 = 5,1 cm

A(tot) = A (lat) 1 + A (lat)2 + [A(base)1 -A(base)2] = 2π (R1^2 + R2^2) + π(R1^2 -R2^2) = 2π (5,1^2 + 3,9^2) + π (5,1^2 -3,9^2) = 2π (26,01 + 15,21) + π (26,01 - 15,21) = 2π 41,22 + π 10,8 = 93,24 π cm^2

Calcoliamo il volume del fermacarte:
V(tot) = (V1 + V2)/2 = [4/3π (R1^3 + R2^3)]/2 = [4/3π (5,1^3 + 3,9^3)]/2 = [4/3π (132,651 + 59,319)]/2 = 127,98 π cm^3 = 401,8572 cm^3 = 0,40185 dm^3

Peso = ps x V = 2,65 x 0,40185 = 1,0649 Kg = 1064,9 gr

un solido alto 24cm, è formato da due cilindri e un cono sovrapposti aventi le basi concentriche. il primo cilindro ha l'altezza congruente al doppio di quella del secondo cilindro,la cui altezza è congruente a quella del cono. il raggio del primo cilindro e l'apotema del cono misurano entrambi 10 cm. calcola la superfice del solido sapendo che ha volume di 1869.5 pgreco cm^3. (r. 570 pgreco cm^2)

Si indicheranno con "1" le misure del primo cilindro, con "2" le misure del secondo cilindro e con "3" le misure del cono.

Si sa che:
H1 + H2 + H3 = 24 cm
H1 = 2H2
H2 = H3


Diviene: 2H2 + H2 + H2 = 24 cm
4H2 = 24 cm
H2= 24/4 = 6 cm


H1 = 2H2 = 12 cm
H3 = H2= 6 cm


Si sa poi che:
R1 = 10 cm
A3 = 10 cm


Possiamo calcolare il raggio di base del cono conoscendone l'apotema e l'altezza, attraverso il teorema di Pitagora:
R3 = radice di (10^2 -6^2) = 8 cm

Per poter calcolare quanto richiesto dal problema, manca solo di conoscere R2. Viene in aiuto conoscere il volume del solido:
V1 = area base x H1 = πR1^2 x H1 = π10^2 x 12 = 1200 π cm^3
V3= area base x H3/3 = πR3^2 x H3/3 = π8^2 x 6/3 = 128 π cm^3


V(tot) = 1869.5 π cm^3 = V1 + V2 + V3
V2= V(tot) - V1 - V3 = 1869,5 π - 1200 π -128 π = 541,5 π cm^3
V2 = area base x H2= πR2^2 x H2 = πR2^2 x 6
R2 = radice di (V2/π6) = radice di (90,25) = 9,5 cm


A(tot) = A(lat) 1 + A(lat) 2 + A(lat) 3 + [A(base)1 - A(base)2] + [A(base)2 -A(base)3] + A(base) 1

A(tot) = 2πR1 x H1 + 2πR2 x H2 + 2πR3 x A3/2 + (πR1^2 - πR2^2) + (πR2^2 - πR3^2) + πR1^2


A(tot) = 240 π + 114 π + 80 π + 9,75 π + 26,25 π + 100π = 570 π cm^2

un solido di ferro(ps 7.8 ) è formato da un prisma regolare quadrangolare sormontato da una piramide avente per base la base superiore del prisma. il solido pesa 49920 g e lo spigolo della base comune misura 20 cm. sapendo che il prisma e la piramide sono equivalenti, calcola l'area della superficie del solido. (r. 2080 cm^2)

Il prisma e la piramide hanno la base quadrata, altrimenti il prisma non può essere "quadrangolare regolare".

P = ps x V, quindi:
V = P/ps = 49,920 Kg/7,8 = 6,4 dm^3 = 6400 cm^3

Poichè il prisma e la piramide sono equivalenti (cioè hanno lo stesso volume):
V1 = V2 = V(tot)/2 = 3200 cm^3

v1 = area base x H1
H1 = V1/A(base) 1 = 3200/(20 x 20) = 8 cm


V2 = area base x H2/3
H2 = V2 x 3/(20 x 20) = 24 cm


L'apotema della piramide è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e l'apotema di base. Poichè la base è quadrata, l'apotema di base è pari alla metà del lato (10 cm).
Possiamo trovare l'apotema della piramide grazie al teorema di Pitagora:
Apotema = radice di (24^2 + 10^2) = 26 cm

A(tot) = A(lat) prisma + A(base) + A(lat) piramide = (20 x 8 x 4) + (20 x 20) + [(20 x 4) x 26/2] = 640 + 400 + 1040 = 2080 cm^2

Fine. Ciao!!!
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Ciao, sono abbastanza tanti... Possibile che non riesci a fare neanche 1 di questi problemi, o per lo meno non sai neanche come iniziare?
Posta un tentativo, non siamo un compitificio che ti facciamo 4 problemi, per lo più anche abbastanza lunghetti da scrivere!
Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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Grazie Alice, per il tuo aiuto, io prima di kiedere il vostro aiuto ci provo sempre, ma come sai la geometri proprio non è il mio forte.
nel secondo problema è giusto 12 mm.
Grazie di nuovo Ciao
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