Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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PROBLEMI GEOMETRIA PIRAMIDE
1° PROBLEMA
L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE DI UNA PIRAMIDE QUADRANGOLARE REGOLARE DI MARMO (PS 2.7) MISURA 5184 CM QUADRATI. SAPENDO CHE L'AREA DI BASE E' I 4/5 DELL'AREA LATERALE, CALCOLA IL VOLUME E IL PESO DELLA PIRAMIDE.
(13824 CM CUBICI - 37324.8 G)

2° PROBLEMA
UNA PIRAMDIE RETTA, ALTA 10 CM, HA PER BASE UN TRIANGOLO ISOSCELE AVENTE L'AREA DI 300 CM QUADRATI E LA BASE CONGRUENTE AI 3/2 DELL'ALTEZZA. CALCOLA L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE E IL VOLUME DELLA PIRAMIDE
(800 CM QUADRATI - 1000 CM CUBICI)

GRAZIE
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, LetiAlex! Eccomi qui, come ti avevo promesso, per aiutarti con i tuoi problemi. Vedo tuttavia che hai già ricevuto la risposta di Antharax...se hai difficoltà a comprenderla (vedo che è un po' schematica, seppure correttissima), posso provare a rispiegartela, comunque.
Ecco a te...

P.S. Antharax, sei certo di non aver copiato la tua risposta da yahoo.answer? Uhm...qualcosina mi dice di sì. Per favore, d'ora in poi solo risposte assolutamente originali, promesso? Mi pare che non sia la prima volta che la cosa ti viene fatta notare, qui nel forum. Oltretutto answer è un sito concorrente a skuola.net, ed utilizzare il suo materiale è proibito dal regolamento. Mi raccomando, allora...

1° PROBLEMA
L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE DI UNA PIRAMIDE QUADRANGOLARE REGOLARE DI MARMO (PS 2.7) MISURA 5184 CM QUADRATI. SAPENDO CHE L'AREA DI BASE E' I 4/5 DELL'AREA LATERALE, CALCOLA IL VOLUME E IL PESO DELLA PIRAMIDE.
(13824 CM CUBICI - 37324.8 G)


A(tot) = A(lat) + A (base) = 5184 cm^2

Sappiamo però che:
A(base) = 4/5 * A(lat), dunque diviene...
A(tot) = A(lat) + 4/5 A (lat) = 5184 cm^2

Risolviamo questa espressione:
A(tot) = A(lat) + 4/5 A (lat) = 5184 cm^2
A(tot) = 5/5 A(lat) + 4/5 A (lat) = 5184 cm^2
A(tot) = 9/5 A(lat) = 5184 cm^2
A(lat) = 5184 * 5/9 = 2880 cm^2

Ricordando che:
A(base) = 4/5 * A(lat), calcolo...
A(base) = 4/5 * A(lat) = 2880 *4/5 = 2304 cm^2.

La base della piramide è costituita da un quadrato. Nel quadrato:
A(base) = lato^2, quindi:
lato = radice di A(base) = radice di 2304 = 48 cm

Per calcolare il volume della piramide, ci manca di conoscerne l'altezza.
Sappiamo però che nella piramide l'altezza costituisce uno dei cateti di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa l'apotema della piramide e per secondo cateto l'apotema di base. Dunque, noti l'apotema e l'apotema di base, è sufficiente utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare l'altezza.
Nel quadrato l'apotema di base è presto calcolato.
ap(base) = lato/2 = 48/2 = 24 cm
L'apotema può essere invece determinato consocendo l'area laterale.
A(lat) = 2880 cm^2 = perimetro x apotema/2 = 4*48 *ap/2 = 96*ap
ap = A(lat)/96 = 2880/96 = 30 cm

h = radice di (ap^2 - ap(base)^2) = radice di (30^2 -24^2) = radice di 324 = 18 cm

V = area(base) * h/3 = 2304 *18/3 = 13824 cm^3 = 13,824 dm^3

Calcoliamo il peso:
ps = peso/volume
Quindi: peso = ps*volume = 2,7*13,824 = 37,3248 kg = 37324,8 gr

2° PROBLEMA
UNA PIRAMDIE RETTA, ALTA 10 CM, HA PER BASE UN TRIANGOLO ISOSCELE AVENTE L'AREA DI 300 CM QUADRATI E LA BASE CONGRUENTE AI 3/2 DELL'ALTEZZA. CALCOLA L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE E IL VOLUME DELLA PIRAMIDE
(800 CM QUADRATI - 1000 CM CUBICI)


Chiamo:
h = altezza del triangolo isoscele
b = base del traingolo isoscele
l = lato obliquo del triangolo isoscele
H = altezza piramide


Il problema ci fornisce già tutti gli elementi per calcolare il voluem della piramide:
V = A(base)*H/3 = 300 *10/3 = 1000 cm^3

Veniamo all'area totale.

So che: A(base) = b*h/2 = 300 cm^2

Ma b = 3/2 *h, quindi, sostituendo il valore di b, la formula dell'area può essere scritta anche così:
A(base) = (3/2h)*h/2 = 300 cm^2
A(base) = 3/4*h^2 = 300 cm^2
h^2 = A(base)*4/3 = 300*4/3 = 400 cm^2
h = radice di 400 = 20 cm


Ricondando che:
b = 3/2*h, calcolo b= 3/2*20 = 30 cm.

Ora, nel triangolo isoscele, altezza relativa alla base è anche sua mediana, e bisettrice dell'angolo opposto. Essa divide dunque il triangolo in due traingoli rettangoli identici, nei quali i cateti sono pari all'altezza (h = 20 cm) e alla metà della base (b/2 = 15 cm) e l'ipotenusa è pari al lato obliquo del triangolo.
Posso determinare questo lato obliquo grazie dunque al teorema di Pitagora:

l = radice di (20^2 + 15^2) = 25 cm

Calcoliamo subito il perimetro di base:
P = 2l + b = 50 + 30 = 80 cm

Per determinare l'area laterale della piramide è essenziale conoscerne anche l'apotema. L'apotema è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'apotema di base e l'altezza della piramide. Dunque, note queste due grandezze, l'apotema della piramide può essere determinato grazie al teorema di Pitagora.
Il problema è che non si consoce neanche l'apotema di base. Tuttavia per qualsiasi poligono vale questa formula:
Area = perimetro x apotema di base/2
Quindi: apotema di base = Area*2/perimetro = 300*2/80 = 7,5 cm

ap = radice di (h^2 + ap(base)^2) = radice di (10^2 +7,5^2) = radice di (100 + 56,25) = radice di 156,25 = 12,5 cm

Abbiamo adesso tutti gli elementi anche per calcolare l'area totale della piramide:
A(tot) = A(base) + A(lat) = 300 + (perimetro x apotema)/2 = 300 + (80*12,5)/2 = 300 + 500 = 800 cm^2.

Fine. Ciao!!!
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Sl = 5184 - Ab

Quindi:

Ab =
[math]\frac{4}{5}*Sl[/math]
[math][/math]
Ab = [math]\frac{4}{5}*(5184-Ab)[/math]

5Ab = 4(5184 - Ab)

5Ab = 20736 - 4Ab

9Ab = 20736

Ab =
[math]\frac{20736}{9}[/math]
=
[math]2304cm^{2}[/math]

Troviamo il lato del quadrato:

l =
[math]\sqrt{2304}[/math]
= 48cm
Il suo perimetro:

2p = 4l = 4 * 48 = 192cm

E la superficie laterale:

Sl = St - Ab = 5184 - 2304 =
[math]2880cm^{2}[/math]

Sapendo che la formula per trovare la superficie laterale è:

Sl =
[math]\frac{P*a}{2}[/math]

Troviamo l'apotema:

a =
[math]\frac{2*2880}{192}[/math]
= 30cm
Bisogna trovare l'altezza e per farlo utilizziamo Pitagora:

h =
[math]\sqrt{30^{2}-24^{2}}[/math]
=
[math]\sqrt{324}[/math]
= 18cm
Troviamo il volume e poi il peso:

V =
[math]\frac{2304*18}{3}[/math]
=
[math]13824cm^{3}[/math]

P = V * Ps = 13824 * 2,7 = 37325,8


Per l'altro devi usare lo stesso metodo, se non ci riesci ti aiuto io ;)
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