Roxys
Roxys - Ominide - 4 Punti
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in una piramide quadrangolare la somma delle lunghezze di uno spigolo laterale e di uno spigolo di base misura 110 cm e il loro rapporto è 5/6. calcola l'area della superficie totale e il volume.(Approssima ai decimi)
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Allora:
-Conosciamo la somma dello spigolo di base e dello spigolo laterale ed il loro rapporto. Impostiamo dunque una proporzione e applichiamo la proprietà del comporre (Chiamiamo rispettivamente x ed y, lo spigolo di base e quello laterale). Dunque:

[math]x:y=5:6[/math]
essendo
[math]x+y=110cm[/math]


[math](x+y):x=(5+6):5\\
110:x=11:5\\
x=\frac{110*5}{11}=50cm[/math]


[math](x+y):y=(5+6):6\\
110:y=11:6\\
y=\frac{110*6}{11}=60cm[/math]


-A questo punto possiamo calcolare l'apotema della piramide. Esso funge da ipotenusa di un triangolo rettangolo formatosi dove i cateti sono il semi-spigolo di base e lo spigolo laterale. Applichiamo quindi il Teorema di Pitagora:

[math]\frac{x}{2}=\frac{50}{2}=25cm\\
a=\sqrt{25^{2}+60^{2}}cm=\\
\sqrt{625+3600}cm=\\
\sqrt{4225}cm=65cm[/math]


-Ora calcoliamo l'altezza della piramide. Essa funge da cateto maggiore di un triangolo formatosi, dove l'ipotenusa è l'apotema della piramide e per cateto minore il semi-spigolo di base. Applichiamo dunque il teorema di Pitagora:

[math]h=\sqrt{65^{2}-25^{2}}cm=\\
\sqrt{4225-625}cm=\\
\sqrt{3600}cm=60cm[/math]


-Calcoliamo l'area di base per calcolare il volume della piramide. Quindi:

[math]A_{b}=l^{2}=(50cm)^{2}=2500cm^{2}\\
V=\frac{A_{b}*h}{3}=\frac{2500cm^{2}*60cm}{3}=50000cm^{3}[/math]


-Ora calcoliamo il perimetro per ottenere l'area della superficie laterale. Dunque:

[math]P_{b}=4l=4*50cm=200cm\\
A_{l}=\frac{P_{b}*a}{2}=\frac{200cm*65cm}{2}=6500cm^{2}[/math]


-Calcoliamo infine l'area totale della piramide:

[math]A_{t}=A_{b}+A_{l}=2500cm^{2}+6500cm^{2}=9000cm^{2}[/math]



Oppure è così:

-Conosciamo la somma dello spigolo di base e dello spigolo laterale ed il loro rapporto. Impostiamo dunque una proporzione e applichiamo la proprietà del comporre (Chiamiamo rispettivamente x ed y, lo spigolo di base e quello laterale). Dunque:

[math]x:y=5:6[/math]
essendo
[math]x+y=110cm[/math]


[math](x+y):x=(5+6):5\\
110:x=11:5\\
x=\frac{110*5}{11}=50cm[/math]


[math](x+y):y=(5+6):6\\
110:y=11:6\\
y=\frac{110*6}{11}=60cm[/math]


-A questo punto possiamo calcolare l'apotema della piramide. Esso funge da ipotenusa di un triangolo rettangolo formatosi dove i cateti sono il semi-spigolo di base e lo spigolo laterale. Applichiamo quindi il Teorema di Pitagora:

[math]\frac{x}{2}=\frac{60}{2}=30cm\\
a=\sqrt{30^{2}+50^{2}}cm=\\
\sqrt{900+2500}cm=\\
\sqrt{3400}cm=58,30cm[/math]


-Ora calcoliamo l'altezza della piramide. Essa funge da cateto maggiore di un triangolo formatosi, dove l'ipotenusa è l'apotema della piramide e per cateto minore il semi-spigolo di base. Applichiamo dunque il teorema di Pitagora:

[math]h=\sqrt{58,30^{2}-30^{2}}cm=\\
\sqrt{3400-900}cm=\\
\sqrt{2500}cm=50cm[/math]


-Calcoliamo l'area di base per calcolare il volume della piramide. Quindi:

[math]A_{b}=l^{2}=(60cm)^{2}=3600cm^{2}\\
V=\frac{A_{b}*h}{3}=\frac{3600cm^{2}*50cm}{3}=60000cm^{3}[/math]


-Ora calcoliamo il perimetro per ottenere l'area della superficie laterale. Dunque:

[math]P_{b}=4l=4*60cm=240cm\\
A_{l}=\frac{P_{b}*a}{2}=\frac{240cm*58,30cm}{2}=6996cm^{2}[/math]


-Calcoliamo infine l'area totale della piramide:

[math]A_{t}=A_{b}+A_{l}=3600cm^{2}+6996cm^{2}=10596cm^{2}[/math]


Spero di averti aiutato!!
Ciaooo :hi
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