crittylove
crittylove - Habilis - 194 Punti
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Il perimetro di un trapezio avente l'altezza lunga 12 cm è 69,74 cm. Calcola l'area del trapezio sapendo che i lati obliqui formano con la base maggiore angoli acuti ampi 45° e 60°. (Suggerimento: approssima i risultati ai millesimi).

RISULTATO: 233,688 cm*2


GRAZIE IN ANTICIPO!! =)
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Ragioniamo così:

Il lato obliquo che forma l'angolo di 45° con la base maggiore è assimilabile alla diagonale di un quadrato che, nel nostro caso avrebbe come lato l'altezza del trapezio, quindi:

lo1 = h * sqr 2 = 12 * 1,414 = 16,968 cm circa

Inoltre, sempre per le considerazioni appena fatte, anche la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore sarebbe uguale all'altezza del trapezio:

pr1 = h = 12 cm

Analogamente il lato obliquo che forma l'angolo di 60° con la base maggiore è assimilabile al lato di un triangolo equilatero con altezza pari all'altezza del trapezio, quindi:

lo2 = h / 0,866 = 12 / 0,866 = 13,857 cm circa

La proiezione di questo lato sulla base maggiore (per quanto appena detto) è pari a metà di lo2:

pr2 = lo2/2 = 13,857 / 2 = 6,929 cm circa

Con questi dati possiamo ricavare la misura delle basi maggiore e minore:

bmin = (p - (lo1 + lo2 + pr1 + pr2))/2 =

= (69,74 - (16,968 + 13,857 + 12 + 6,929)/2 = 9,993 cm circa

bmagg = bmin + pr1 + pr2 = 9,993 + 12 + 6,929 = 28,922 cm circa

A questo punto calcoliamo l'area:

A = (bmin + bmagg)*h/2 = (9,993 + 28,922)*12/2 = 233,49 cm^2 circa

:hi

Massimiliano
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, Crittylove! Ecco la soluzione del problema:

Tracciate le due altezze
[math]h[/math]
del trapezio, vediamo che esse formano al suo interno due traingoli rettangoli.
Uno di essi ha un angolo di 45°, quindi siamo di fronte ad un triangolo rettangolo isoscele. Nel triangolo rettangolo isoscele i cateti sono uguali. Uno di essi (quello verticale) è l'altezza
[math]h[/math]
.
Quindi anche l'altro cateto -quello orizzontale, che indichiamo con il simbolo
[math]x[/math]
- misurerà quanto
[math]h[/math]
.
Possiamo ricavare l'ipotenusa del traingolo -cioè il lato obliquo del trapezio- grazie al teorema di Pitagora:
[math]l1 = \sqrt{h^2 + x^2}= \sqrt{h^2 + h^2}= \sqrt{2*h^2}=[/math]
[math]\sqrt{2*12^2}= \sqrt{2*144}= 12*\sqrt{2} = 16,970 cm = 17 cm(circa)[/math]

L'altro traingolo rettangolo ha invece un angolo di 60°. Questo vuol dire che l'altro ne misura 30°.
Questo triangolo è quindi la metà di un triangolo equilatero, di cui il cateto verticale
[math]h[/math]
è l'altezza, l'ipotenusa (cioè il lato obliquo del trapezio) è il lato (
[math]l[/math]
) e il cateto orizzontale (chimiamolo
[math]y[/math]
) è pari ad
[math]l/2[/math]
.
Possiamo allora determinare
[math]l[/math]
ed
[math]y[/math]
grazie al teorema di Pitagora:
[math]h^2 = l^2 - y^2 = l^2 - (l/2)^2 = l^2 - l^2/4 = 3/4 l^2[/math]
Perciò:
[math]l = \sqrt{h^2*4/3} = \sqrt{12^2*4/3} =[/math]
[math]\sqrt{144*4/3} = \sqrt{144*4/3} = \sqrt{192} = 13,856 cm = 13,86 (circa)[/math]

[math]y = l/2 = 13,86/2 = 6,93 cm.[/math]

Il perimetro (noto) del trapezio è pari a:
[math]P = B + b + L1 + L = 69,74 cm[/math]

Però:
[math]B = b + x + y[/math]
, quindi:
[math]P = (b+x+y) + b + L1 + L = 69,74 cm[/math]
[math]P = 2b+x+y + L1 + L = 69,74 cm[/math]

[math]2b = P -x-y-l-l1 = 69,74 - (12+17 + 13,86 + 6,93 )[/math]
[math]= 69,74 - 49,79 = 19,95 cm = 20 cm(circa)[/math]

[math]b = 2b/2 = 20/2 = 10 cm[/math]

[math]B = b + x + y = 10 + 12 + 6,93 = 28,93 cm[/math]

[math]Area = (B+b)*h/2 = (10+28,93)*12/2 = 233,58 cm^2[/math]

Fine. Ciao!

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Oh! Battuta sul tempo!
Ciao, Massimiliano! Stavolta sono arrivata tardi io, eh, eh, eh! :blowkiss
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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... e vai Ali Q!!!

Il tuo risultato è solo - 0,05% rispetto a quello postato, mentre il mio si attesta solo ad un - 0,09%... che tristezza....

:lol :lol

:hi
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