skraby78m
skraby78m - Habilis - 153 Punti
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Problema n° 1 : Il punto P, esterno alla circonferenza di centro O, ha la distanza di 60m dal centro. I segmenti di tangente P A e P B,condotti per P alla circonferenza,formano con P O un angolo di 30°. Calcolate il perimetro e l'area del quadrilatero AOBP. Problema n° 2 : Un rettangolo ha l'area di 300 cm2 e la base di 20 cm . Calcolate la misura della diagonale del rettangolo e la misura della distanza DH del vertice D della diagonale. ( 25cm ; 12cm )
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ecco a te, skraby78m!
(Ho letto solo adesso il tuo topic: spero che non sia troppo tardi per aiutarti con la soluzione!!!)

PRIMO PROBLEMA:
Il quadrilatero AOBP è formato da due triangoli: BPO e APO.
I due triangoli sono uguali, perchè hanno i tre lati uguali:
OP è in comune;
OB = OA perchè raggi della circonferenza
AP = BP per un ben noto teorema, secondo cui i due segmenti appartenenti alle tangenti ad una circonferenza condotte a partire da un punto ad essa esterno sono uguali.

Non solo sono uguali, ma questi due triangoli sono rettangoli in B e in A.
Infatti esiste un teorema che ci dice che, mandate da un punto esterno ad una circonferenza due retta tangenti alla circonferenza stessa, i raggi della circonferenza nei due punti di tangenza sono perpendicolari alle tangenti stesse.

Non solo, però, i due triangoli sono rettangoli, ma avendo anche un angolo di 30° ciascuno (BPO e APO) come dice il testo del problema, hanno anche l'altro angolo di 60°.
Sono quindi, ciascuno, la metà di un triangolo equilatero.

Quindi se:
OP = 60 m
OB = OA = OP/2 = 60/2 = 30 m.

Il lato PB o AP può essere determinato con il teorema di Pitagora. Oppure, più semplicemente, sfruttando le caratteristiche del triangolo equilatero, secondo cui:
[math]h = l*\sqrt{3}/2[/math]
Quindi:
[math]BP = AP = OP*\sqrt{3}/2 = 51,9 m[/math]

[math]Area AOBP = 2* area (APO) = 2*AP*AO/2 = AP*AO = 1557 m^2[/math]

SECONDO PROBLEMA:

L'area del rettangolo è pari a:
[math] A=B*h[/math]
Se
[math]A = 300 cm^2[/math]
e
[math]B = 20 cm[/math]
, allora:
[math]h = A/B = 15 cm[/math]

La diagonale del rettangolo lo divide a metà, in due triangoli rettangoli, di cui la diagonale è l'ipotenusa. Posso dunque determinarla facendo ricorso al teorema di Pitagora:
[math]D = \sqrt{B^2 +h^2}= \sqrt{20^2 +15^2}= \sqrt{400 +225}=
\sqrt{625}= 25 cm[/math]

Il segmento uscente da D e perpendicolare alla diagonale non rappresenta solo la distanza di D dalla diagonale, ma anche l'altezza del traingolo rettangolo rispetto all'ipotenusa.
Di questo triangolo si conosce l'area: è pari alla metà dell'area del rettangolo e quindi
[math]150 cm^2[/math]
.
Ora, l'area di un triangolo può essere calcolata moltiplicando QUALSIASI dei duoi lati per l'altezza ad esso realtiva. Quest'area appena calcolata non è dunque solo pari a
[math]h*B/2[/math]
, ma anche al prodotto della diagonale, per l'altezza ad essa relativa fratto due.
[math]D*h(D)/2 = 150 cm^2[/math]
Invertendo la formula troveremo appunto h(D).
[math]h(D) = 150*2/D = 12 cm[/math]

Fine. Ciao!
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