chiara119
chiara119 - Ominide - 14 Punti
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un solido e formato da un cubo e da tre piramidi regolari con le basi coincidenti con tre facce del cubo. le tre altezze della piramide sono una i 2/3 dell altra e la somma delle loro lunghezze misura 38 cm .sapendo k il volume del cubo e di 729 cm cubici , calcola l area della superficie del solido (approssima ai centesimi)
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ecco qua, Chiara....

Innanzi tutto determiniamo il lato del cubo a partire dal suo volume:
V(cubo) = l^3 = 729 cm^3
Quindi l = radice cubica di 729 = 9 cm

Adesso determiniamo le tre altezze delle piramidi. Chiamiamole h1, h2 e h3.
Si sa che:
h1 + h2 + h3 = 38 cm
E che:
h2 = 2/3*h1
h3 = 2/3*h2 = 2/3*2/3*h1 = 4/9*h1


Dunque questa espressione: h1 + h2 + h3 = 38 cm può essere riscritta così:
h1 + 2/3 h1 + 4/9 h1 = 38 cm
Risolviamola:
9/9 h1 + 6/9h1 + 4/9 h1 = 38 cm
19/9 h1 = 38 cm
h1 = 38 * 9/19 = 18 cm


h2 = 2/3*h1 = 2/3*18 = 12 cm
h3 = 2/3*h2 = 2/3*2/3*h1 = 4/9*h1 = 4/9*18 = 8 cm


Delle tre piramidi ci manca adesso di conoscere l'apotema.
L'apotema è all'interno della piramide l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti l'altezza e l'apotema di base.
Le altezze delle tre piramidi sono note. Essendo invece la base quadrata, l'apotema di base sarà pari alla metà del lato di base, cioè 4,5 cm.
Possiamo determinare i tre apotemi grazie al teorema di Pitagora:
a1 = radice di (18^2 + 4,5^2) = radice di (324 + 20,25) = radice di 344,25 = 18, 55 cm

a2 = radice di (12^2 + 4,5^2) = radice di (144 + 20,25) = radice di 164,25 = 12,81 cm

a3 = radice di (8^2 + 4,5^2) = radice di (64 + 20,25) = radice di 84,25 = 9,17 cm

Possiamo adesso rispondere alla domanda finale.

L'area della superficie del solido sarà pari all'area di tre facce del cubo (le altre tre sono infatti "occupate" dalle tre piramidi)....
3*9^2 = 3*81 = 243 cm^2
...più le tre superfici laterali delle tre piramidi.
A(lat) 1 = P(base) * a1/2 = (4*9)* 18,55/2 = 333,9 cm^2
A(lat) 2 = P(base) * a2/2 = (4*9)* 12,81/2 = 230,58 cm^2
A(lat) 3 = P(base) * a3/2 = (4*9)* 9,17/2 = 165,06 cm^2

A(tot) = 243 + 333,9 + 230,58 + 165,06 = 972,54 cm^2

Fine. Ciao!!!!
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