sissi_96
sissi_96 - Erectus - 56 Punti
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la proiezione dei cateti sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono una 9\16 dell'altra e la loro somma misura 43,75 dm.calcola l'area della superficie totale e il volume del solido originato dalla rotazione completa del triangolo attorno l'ipotenusa.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Rappresentiamo graficamente la proiezione di un cateto e dividiamola in 16 parti:

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

Ora rappresentiamo l'altra proiezione, 9/16 di questa.

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

Ora rappresentiamo la loro somma, che sara' dunque formata da 9 + 16 segmentini (detti unita' frazionarie)

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| = 43,75

Se 25 unita' frazionarie misurano 43,75, una di queste misurera' 43,75 : 25 = 1,75 dm.

E dunque le due proiezioni misureranno:

1,75 x 16 = 28dm
1,75 x 9 = 15,75 dm

La loro somma, ovviamente, e' anche l'ipotenusa.

Per l'area ci occorre l'altezza.

Sappiamo, per il secondo teorema di Euclide, che l'altezza e' "medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa"

Ovvero:

15,75 : h = h : 28

E quindi, siccome il prodotto dei medi e' uguale al prodotto degli estremi

[math] h \cdot h = 28 \cdot 15,75 \to h^2=441 \to h=\sqrt{441}=21dm [/math]

E quindi l'area sara'

[math] A= \frac{b \cdot h}{2}= \frac{21 \cdot 43,75}{2}= 459,375 dm^2 [/math]

Se il triangolo fa una rotazione completa intorno all'ipotenusa, avremo un solido che altro non e' che la somma di due coni, appoggiati per la base.

Ciascuno di questi coni avra' la base di raggio = all'altezza del triangolo, e come altezza, le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Quindi un cono avra' volume (ricordando che il volume del cono e'
[math] V= \frac{A_b \cdot h}{3} [/math]
e che l'area del cerchio e'
[math] \pi r^2 [/math]
)
[math] V_1= \frac{ \pi 21^2 \cdot 28}{3} = 4116 \pi dm^3 [/math]

[math] V_2= \frac{ \pi 21^2 \cdot 15,75}{3}= 2315,25 \pi dm^3 [/math]

Pertanto il volume del solido, sara' la somma di questi due volumi trovati
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