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Geometria urgente
1° Problema
Un solito, alto 40 cm, è costituto da un prisma avente per base un triangolo rettangolo e da una piramide retta la cui base è coincidente con una base del prisma. sapendo che l'altezza della piramide è 1/4 di quella del prisma e che la somma e la differenza dei cateti di base misurano rispettivamente 42 cm e 6 cm, calcola l'ara della superificie totale, il volume e il peso del solido, supposto che sia di vetro(ps 2.5) . Ris. ( 2880 cm^2 - 7488 cm^3 - 18720 g.)

2° problema
un solido di rame (ps 8.9) è formato da un cubo in cui sono scavate due piramidi regolari quadrangolari uguali aventi le basi coincidenti con due facce del cubo e il vertice nelcentro del cubo stesso.
sapendo che il volume è di 64000 cm^3, calcola l'area della superficie e il peso del solido ( r: 10924.8 cm^2 - 379Kg)

3° problema
la diagonale di un parallelepipedo rettangolo, avente l'area di base di 115.2 cm^2, misura 17.8 cm. sapendo che le dimensioni della base sono una i 9/20 dell'altra, calcola il volume del parallelepipedo. (r. 345.6 cm^3)

Grazie.
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, LetiAlex! Provvedo subito a postare le soluzioni.....

1° Problema
Un solido, alto 40 cm, è costituto da un prisma avente per base un triangolo rettangolo e da una piramide retta la cui base è coincidente con una base del prisma. sapendo che l'altezza della piramide è 1/4 di quella del prisma e che la somma e la differenza dei cateti di base misurano rispettivamente 42 cm e 6 cm, calcola l'ara della superificie totale, il volume e il peso del solido, supposto che sia di vetro(ps 2.5) . Ris. ( 2880 cm^2 - 7488 cm^3 - 18720 g.)


Calcoliamo innanzi tutti i lati della base, costituita da un traingolo rettangolo. Si sa che:
C + c = 42 cm
C - c = 6 cm → C = (c + 6 cm)


Sostituendo l'informazione C = c +6 cm nella prima formula....
(c+6) + c = 42 cm
2 c = 42 - 6 = 36 cm
c = 36/2 = 18 cm


C = c + 6 cm = 18 +6 = 24 cm

Noti i cateti, l'ipotenusa è facilmente determinata grazie al teorema di Pitagora:
i = radice di (24^2 + 18^2) = 30 cm

P(base) = C + c + i = 24 + 18 + 30 = 72 cm
A(base) = Cx c/2 = 24 x 18/2 = 216 cm^2


Calcoliamo ora le altezze:
h (prisma) + h(piramide) = 40 cm
L'altezza della piramide è pari a 1/4 di quella del prisma:
h(prisma) + h/4 (prisma) = 40 cm
5/4 h(prisma) = 40 cm
h (prisma) = 40 x 4/5 = 32 cm


h(piramide) = h(prisma) x 1/4 = 8 cm

A questo punto, per avere tutte le informazioni che ci occorrono, è necessario determinare l'apotema della piramide. Ma per calcolare l'apotema è a sua volta necessario calcolare l'apotema di base.
Ora, nei poligoni circoscrivibili ad una circonferenza (come il triangolo rettangolo, ad esempio) vale che:
Area = perimetro x apotema/2
Quindi: apotema = Area x 2/perimetro = 216 x 2/72 = 6 cm

Noto l'apotema di base, possiamo calcolare l'apotema della piramide. Esso è infatti l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'latezza della piramide e il suo apotema di base. Quindi...
ap = radice di (8^2 + 6^2) = radice di 100 = 10 cm

V(tot) = V rpisma + Vpiramide = area base x H + area base x h/3 = 216 x 32 + 216 x 8/3 = 6912 + 576 = 7488 cm^3 = 7,488 dm^3

Sapendo che: ps = peso/V, ottengo:
peso = V * ps = 7,488 * 2,5 = 18,72 kg = 18720 gr

A(tot) = A(base) + A(lat) prisma + A(lat) pirmaide = 216 + perimetro base x h(prisma) + perimetro base x apotema/2 = 216 + (72 x 32) + (72 x 10/2) = 216 + 2304 + 360 = 2880 cm^2

2° problema
un solido di rame (ps 8.9) è formato da un cubo in cui sono scavate due piramidi regolari quadrangolari uguali aventi le basi coincidenti con due facce del cubo e il vertice nelcentro del cubo stesso.
sapendo che il volume è di 64000 cm^3, calcola l'area della superficie e il peso del solido ( r: 10924.8 cm^2 - 379Kg)


V(cubo) = l^3
Quindi l = radice cubica (V) = radice cubica 64000 = 40 cm

V(tot) = V (cubo) - 2*V(piramide) = 64000 - 2* area base * altezza/3
V(tot) = 64000 - 2* l^2 * (l/2)/3 = 64000 - l^3/3 = 64000 - 64000/3 = 64000 - 213333,33 = 42666,66 cm^3 = 42,666 dm^3

Sapendo che ps = Peso/V, ottengo...
peso = ps x V = 8,9 x 42,666 = 379,72 Kg

Per aclcolare l'area della superficie totale, è necessario stimare l'apotema della due piramidi. Esso è l'ipotenusa di un traingolo rettangolo che ha per cateti l'apotema di base (nel quadrato ab = l/2 = 20 cm) e l'altezza = l/2 = 20 cm). Quindi...
a = radice di (20^2 + 20^2) = radice di (400 + 400) = radice di (800) = 28,28 cm

A(lat)piramide = perimetro base x apotema/2 = 4 x 40 x 28,28/2 = 2262,4 cm^2

A(tot) = A(lat) cubo + 2 * A(lat) piramide = 4 x (40 x 40) + 2 x 2262,4 = 6400 + 4524,8 = 10924,8 cm^2

3° problema
la diagonale di un parallelepipedo rettangolo, avente l'area di base di 115.2 cm^2, misura 17.8 cm. sapendo che le dimensioni della base sono una i 9/20 dell'altra, calcola il volume del parallelepipedo. (r. 345.6 cm^3)


Calcoliamo le dimensioni di base:
b*h = 115,2 cm^2
h = 9/20*b


Quindi, sostituendo le informazioni della seconda formula nella prima...
b*9/20b = 115,20 cm^2
b^2 = 115,2 x 20/9 = 256 cm^2
b = radice di 256 = 16 cm


h = 9/20 x b = 9/20 x 16 = 7,2 cm

Calcoliamone le diagonale di base grazie al teorema di Pitagora:
d^2 = (b^2 + h^2) = (16^2 + 7,2^2 ) = (256 + 51,84) = 307,84 cm^2

La diagonale del prisma è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e al diagonale di base. Duqnue l'altezza del prisma può essere calcolata grazie al teorema di Pitagora:
h = radice di (D^2 - d^2) = radice di (17,8^2 - 307,84) = radice di (316,84 - 307,84) = radice di 9 = 3 cm

Volume = area base x h = 115,2 x 3 = 345,6 cm^3

Fine. Ciao!!!
Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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grazie
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ecco, ho terminato: puoi leggere la soluzione nel post sopra riportato!!!
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