• Fisica
  • Urto elastico e moto di rotolamento tra due palle da biliardo

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Ciao, non riesco ad applicare le leggi di conservazione dell'energia meccanica a questo esercizio:

Una palla da biliardo di massa
[math] M = 0.20kg [/math]
e raggio
[math] R =2.5cm [/math]
si trova in quiete su un piano orizzontale avente coefficiente di attrito dinamico
[math] \mu d =0.05 [/math]
. Essa viene colpita da una stecca che esercita un impulso orizzontale e centrale (il piano verticale contenente l’impulso passa per il centro della palla) pari in modulo a
[math]J = 8.5·10 ^ {−2} Ns [/math]
ed applicato ad un’altezza
[math] h [/math]
rispetto al piano di appoggio della palla.
a) Calcolare il valore di h tale che, immediatamente dopo l’urto, la palla rotoli senza strisciare.

Al tempo
[math] t_{0} = 0 [/math]
la palla da biliardo, messa in moto dal precedente impulso, urta una seconda palla in quiete, identica alla prima. L’urto è di tipo centrale (il piano verticale contenente la velocità del centro di massa della prima palla passa per il centro della seconda) ed elastico e le superfici delle palle da biliardo sono lisce.
Determinare:

b) le velocità angolari di rotazione e le velocità con cui si muovono i centri di massa delle due palle subito dopo l’urto;

c) in quali istanti
[math] t_{1} [/math]
e
[math] t_{1} [/math]
le due palle da biliardo inizieranno a muoversi di puro rotolamento.
[SOLUZIONI:
a)
[math] h =3.5cm [/math]
;
c)
[math] t_{1} =0.248s, t_{2} = t_{1} [/math]
]





Allora, i miei problemi iniziano con i punti b) e c):

Detto A il punto della prima pallina che si trova a contatto con il piano, la condizione di puro rotolamento è:

[math] V_{A} = V_{CM} - \omega R = 0 [/math]

per cui

[math] V_{CM} = \omega R [/math]

e detti
[math] r = h - R [/math]
il raggio a cui applicare l'impulso
[math] J [/math]
affinché la pallina abbia un moto di puro rotolamento ed
[math] I = \frac{2}{5}MR^2 [/math]
il suo momento di inerzia, ottengo
[math] h = \frac{7}{5}R [/math]
.
Ora, nel momento in cui la prima pallina urta la seconda, essendo entrambe le palline lisce e l'urto elastico ed orizzontale, il centro di massa della palla urtante rimane fermo mentre essa ruota di velocità angolare
[math] \omega [/math]
attorno al suo centro, per cui adesso si ha che
[math] v_{A} = \omega R[/math]
e, imponendo che la forza di attrito agisce fin quando la velocità
[math] v_{A} [/math]
non si esaurisce, ottengo
[math] \frac{1}{2}M v_{A}^2 = Mg \mu _{d} S [/math]

dove

[math] S = \frac{1}{2} \frac{v_{A}^2}{g \mu _{d} } [/math]

sarebbe lo spazio percorso dal punto A:

Applicando le leggi del moto mi trovo il tempo

[math] t_{1} = \frac{S}{v_{A}} = 0.433 s [/math]
che è sbagliato se confrontato alla soluzione.
In seguito ho provato anche ad applicare la conservazione dell'energia come

[math] \frac{1}{2}I \omega ^2 = Mg \mu _{d} (\vartheta R) [/math]

ma non ottenendo comunque il risultato giusto che dev'essere
[math] t_{1} = 0.248s [/math]
mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Ecco un altro bell'esercizio!

Il tuo ragionamento e` quasi giusto: subito dopo l'urto le velocita` (dei centri di massa) delle due biglie sono scambiate, cioe` la prima e` ferma e la seconda parte con la velocita` che aveva la prima.

Pero` le due biglie hanno anche velocita` angolare e questo fa entrare in gioco l'attrito, che cambia le cose.

La prima biglia NON si ferma, ma striscia e dopo un tempo t_1 prosegue con moto di puro rotolamento. La condizione che hai scritto tu presuppone invece che la prima biglia si fermi del tutto.

La velocita` prima dell'urto e`
[math]v_0=J/M=0.425~m/s[/math]
e la condizione di puro rotolamento impone che
[math]\omega_0=V_0/R[/math]
.
Consideriamo la seconda biglia: subito dopo l'urto il centro di massa ha velocita`
[math]v_0[/math]
ma la velocita` di rotazione e` zero! Quindi per un po' di tempo la biglia slitta.
Scriviamo le equazioni del moto per la seconda biglia:

per il moto traslatorio:
[math]Ma=-f_a=-\mu_dMg[/math]
, cioe`
[math]a=-\mu_d g[/math]

Per il moto rotatorio:
[math]I\alpha=Rf_a[/math]
, ma occorre ricordare che qui
[math]a\neq R\alpha[/math]
perche' c'e` slittamento.
Risolviamo le due equazioni del moto con le condizioni iniziali note:

[math]v(t)=v_0-\mu_dg\,t[/math]

[math]\omega(t)=\frac{R\mu_dMg}{I}t=\frac{5}{2}\frac{\mu_dg}{R}t[/math]

Quindi dopo l'urto la velocita` di traslazione diminuisce partendo da v_0, quella di rotazione aumenta partendo da 0. Ci sara` percio` un istante t_2 in cui:

[math]v(t_2)=R\omega(t_2)[/math]

e da questo istante in poi il moto diventa di puro rotolamento (le due equazioni del moto non sono piu` valide, perche' l'attrito non frena piu` la biglia).

quindi:

[math]v_0-\mu_dg\,t_2=R\frac{5}{2}\frac{\mu_dg}{R}t_2[/math]

[math]v_0=\frac{7}{2}\mu_dgt_2[/math]

[math]t_2=\frac{2v_0}{7\mu_dg}=0.248[/math]
s

Per la prima biglia il procedimento e` analogo: la velocita`di traslazione iniziale e` 0 ed aumentera` a causa dell'attrito, ma quella di rotazione e`
[math]\omega_0[/math]
(e diminuira` per l'attrito). All'istante t_1 tale che
[math]v(t_1)=R\omega(t_1)[/math]
lo slittamento cessa.
Si trova
[math]t_1=\frac{2v_0}{7\mu_dg}=t_2[/math]


Aggiunto 1 ora 52 minuti più tardi:

Se vuoi, la velocita` finale delle biglie si puo` ricavare usando la conservazione del momento angolare. Si ottiene cosi` la velocita` di puro rotolamento ma per calcolare il tempo necessario occorre in ogni caso scrivere un'equazione del moto (traslatorio o rotatorio), per cui non te l'ho proposto inizialmente.

Ma se ti interessa ecco qua:

Faccio i calcoli per la biglia 2.

Scegliamo un punto O sul piano orizzontale, lungo la traiettoria della biglia (il punto e` arbitrario, basta che stia lungo la retta su cui si muove la biglia).

Sulla biglia agiscono: forza peso e reazione normale del piano, che si annullano a vicenda, quindi anche il momento della forza risultante rispetto al punto O e` zero. L'unica altra forza e` l'attrito, che e` diretto lungo la retta congiungente il polo O ed il punto in cui si trova la biglia: quindi il momento della forza di attrito rispetto al polo O e` zero (se avessi scelto come polo un altro punto... sarebbero stati guai!).

Allora il momento angolare della biglia calcolato rispetto O si conserva!

Momento angolare iniziale:
[math]L_i=Mv_0[/math]

Momento angolare finale (calcolato con il teorema di Koenig), quando inizia il puro rotolamento:

[math]L_f=Mv_f+I\frac{v_f}{R}[/math]

quindi la conservazione di L implica:

[math]Mv_0=Mv_f+I\frac{v_f}{R}[/math]
, cioe`
[math]v_f=\frac{5}{7}{v_0}[/math]

per calcolare il tempo occorre scrivere l'equazione del moto traslatorio:

[math]Ma=-\mu_dMg[/math]

da cui:
[math]v(t)=v_0-\mu_dgt[/math]

La velocita` finale v_f si ottiene al tempo t_2:

[math]v_f=v(t_2)[/math]
cioe`
[math]\frac{5}{7}{v_0}=v_0-\mu_dgt_2[/math]
eccetera
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Sei stato chiaro ed esaustivo! Ti ringrazio veramente!
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