• Fisica
  • Prodotto scalare e prodotto vettoriale

    closed post best answer
Boat
Boat - Sapiens - 384 Punti
Salva
Raga potrete spiegarmi un pò il prodotto vettoriale e scalare e come e quando devono essere utilizzati.
Grazie in anticipo :D


Titolo non regolamentare modificato da moderatore.

Questa risposta è stata cambiata da TeM (29-09-13 10:58, 3 anni 2 mesi 10 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
E' una domanda un po' ampia, ma dato che è fatta da un liceale nella sezione
di fisica posso tentare di riassumerti i concetti principali in poche righe.


Siano dati, preliminarmente, due vettori
[math]\vec{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3)[/math]
di lunghezza
[math]\left|\vec{a}\right|:=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\\[/math]
;
[math]\vec{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3)[/math]
di lunghezza
[math]\left|\vec{b}\right|:=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}[/math]
;
e sia
[math]\theta[/math]
l'angolo compreso tra
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
.


1. Il prodotto scalare tra
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
è definito come
[math]\vec{a}\cdot\vec{b}:=\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|\cos\theta[/math]
,
ossia "trasforma" due vettori in uno scalare (giustificazione del proprio nome).

In geometria, quando tale prodotto è nullo implica che l'angolo compreso tra i
due vettori è pari a 90° e quindi
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
sono ortogonali. In fisica, tale prodotto
è usato nei contesti in cui si debba calcolare la proiezione di un vettore lungo
una determinata componente. Ad esempio, il lavoro
[math]L[/math]
prodotto da una forza
[math]\vec{F}[/math]
su un corpo che si sposta in direzione
[math]\vec{u}[/math]
è definito come
[math]L:=\vec{F}\cdot\vec{u}\\[/math]
.

2. Il prodotto vettoriale tra
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
è definito come
[math]\vec{a}\times\vec{b}:=\hat{n}\;\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|\sin\theta[/math]
,
ossia "trasforma" due vettori in un vettore (giustificazione del proprio nome), di
direzione parallela al versore normale
[math]\hat{n}[/math]
del piano in cui giacciono
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
,
e di verso indicato dalla "regola della mano destra".

In geometria, quando tale prodotto è nullo implica che l'angolo compreso tra i due
vettori è pari a 0° o 180° e quindi
[math]\vec{a}[/math]
e
[math]\vec{b}[/math]
sono paralleli. In fisica, tale prodotto lo
si incontra, ad esempio, quando si studia l'elettromagnetismo. In particolare, data
una carica elettrica puntiforme
[math]q[/math]
in moto con velocità istantanea
[math]\vec{v}[/math]
in una regione
caratterizzata dalla presenza di un campo elettrico
[math]\vec{E}[/math]
ed un campo di induzione
magnetica
[math]\vec{B}[/math]
, la forza
[math]\vec{F}[/math]
(detta forza di Lorentz) che si esercita tra il campo
elettromagnetico e la carica è data da
[math]\vec{F}=q\,\left(\vec{E}+\vec{v}\land\vec{B}\right)\\[/math]
(cit. Wikipedia).

Naturalmente questa è la sintesi estrema in quanto ce ne sarebbe da dire
sia a livello teorico che applicativo. Ma per quello che incontrerai negli studi
liceali credo sia più che esaustivo ;)
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
Salva
dati 2 vettori
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
,
1) il loro prodotto scalare
[math]s=\vec a · \vec b[/math]
è dato da una delle due formule
[math]s=a_1b=ab_1[/math]

dove
[math]a_1[/math]
e
[math]b_1[/math]
sono rispettivamente il modulo(con segno)delle proiezioni di
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
nella direzione dell'altro vettore
il prodotto scalare è un numero relativo : se l'angolo tra
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
è acuto,
[math]\vec a_1[/math]
e
[math]\vec b[/math]
(oppure
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b_1[/math]
)hanno lo stesso verso ed
[math]s[/math]
è positivo
se l'angolo è ottuso,
[math]s[/math]
è negativo
se l'angolo è retto,
[math]s=0[/math]

2)il loro prodotto vettoriale
[math]\vec p= \vec a \times \vec b[/math]
è un vettore che,per definizione,ha direzione perpendicolare al piano che contiene
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]


il suo verso è dato dalla regola della mano destra : disponendo il pollice della mano destra nel verso di
[math]\vec a[/math]
e le altre dita in quello di
[math]\vec b[/math]
, il verso di
[math]\vec p[/math]
esce dal palmo della mano

il modulo del prodotto vettoriale è dato da una delle 2 formule
[math]p=a_2 b=ab_2[/math]

dove
[math]a_2[/math]
e
[math]b_2[/math]
sono rispettivamente i moduli delle proiezioni di
[math]\vec a[/math]
e
[math]\vec b[/math]
nella direzione perpendicolare all'altro vettore
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 208 Punti

Comm. Leader
Marcello G.

Marcello G. Blogger 2221 Punti

VIP
Registrati via email