Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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1) Un secchio pesante 1 kg e capace di contenere 10 kg di acqua viene riempito in 12 s. Se si pone questo secchio su una bilancia e si constata che a metà del riempimento essa segna 6,5 kg, che velocità ha l'acqua che entra nel secchio in tale momento?

tentata risoluzione. Abbiamo un impulso di
[math] I = Ft [/math]
presumo F sia la forza peso
[math] I = -6,5\cdot 9,8 \cdot 6=-382,2[/math]
Questa deve essere uguale alla VARIAZIONE DI QUANTITA DI MOTO, cioè
[math]v(m_1-m_0)=-382,2\right v(6,5-1)=5,5v=-382.[/math]
Otterrei quindi v=-69,45 m/s, assurdo. Il risultato dovrebbe venire -5,88.
2).Una sfera con una massa di 6kg rotola lungo un tracciato costituito da due tratti rettilinei collegati da un arco di cerchio con un raggio di 3 m e disposto in modo che i due tratti formino un angolo di 30 gradi l'uno rispetto all'altro.Determinre l'impulso che la sfera riceve, assumendo che la sua velocità sia di 9 m/s e la forza impulsiva media che agisce su di essa.

Tentata risoluzione
[math] p_0=9m/s(6kg)=54 i \\p_1=6(9\cos 30 i + 9\sin 30 j)=6(7,794 i + 4,5 j)=46,764i+27j[/math]
la variazione di quantità di moto sarebbe dunque
[math] \Delta p = -7,236 i + 45 j = I = Ft [/math]
Adesso occorrerebbe determinare il tempo in cui ci sarebbe questa variazione di quantità di moto, in modo che possa poi ricavarne la forza. Ho pensato che il tempo sia quello in cui la pallina debba percorrere quell'arco di cerchio che collega i due tratti. la velocità rimane costante in modulo (trascuriamo la gravità), quindi potrei scrivere
[math] x = vt \rightarrow t =\frac{x}{v}[/math]
con x uguale alla lunghezza dell'arco di circonferenza. Il problema è proprio ricavarmi questa x. 30 gradi infatti non si riferisce a questo angolo ma all'angolo TRA I DUE TRATTI. La forza media cercata dovrebbe venire -41,45i+154,70j

Questa risposta è stata cambiata da the.track (15-05-10 20:06, 6 anni 6 mesi 26 giorni )
the.track
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1) Siamo a metà del riempimento. La bilancia misurerà la forza peso del secchio, la massa d'acqua contenuta e la forza esercitata dall'acqua in caduta.
Avremo quindi:

[math]F_{letta}=m\cdot \vec{g}+M\cdot \vec{g}+F_{caduta}[/math]

Adesso conoscendo la portata del condotto che riempie il secchio possiamo risalire a quanta acqua c'è dentro al secchio a metà riempimento, banalmente 5 kg. Quindi conosciamo la massa dell'acqua
[math](m)[/math]
. La massa del secchio è nota per ipotesi, quindi l'unica incognita è la "forza di caduta".
[math]I=\int F\: dt[/math]

Ho tralasciato gli estremi di integrazione.

[math]\Delta p=F\Delta t[/math]

Essendo v costante e quindi anche F possiamo scrivere:

[math]M(t)\cdot v = F\cdot t[/math]

Da cui ricavi v. Se provi a svolgere i calcoli trovi proprio che la velocità è 5,886 m/s.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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dubito che sia la soluzione corretta.
il teorema dell'impulso funziona solo se la massa del sistema resta invariata nel tempo:

[math]m dv = m \frac{dv}{dt} dt = ma \, dt = F dt [/math]

tuttavia se la massa è una funzione del tempo non si può affermare altrettanto, perchè dovresti differenziarla.
questa soluzione andava bene se avessi avuto una massa m che cadeva sulla bilancia a velocità v.

la relazione M(t)*v = F*t è sbagliata perchè indichi esplicitamente la dipendenza di M dal tempo. inoltre il problema non specifica se la portata sia costante.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Track ma cosa hai usato per "M(t)"? La massa in funzione del tempo? Ho fatto 10 kg in 12 secondi = 0,833 kg/s. La F sembrerebbe essere 0,5 (in quanto f segnata è 6,5 che è massa dell'acqua+massa del secchio piu la F).Il tempo presumo sia 6 secondi. La velocità con quella tua equazione mi sarebbe 6(0,5)/0,833=3,6
Insomma, com'è che hai trovato questo 5,88?
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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xico87 allora:
1) La funzione della massa rispetto al tempo è lineare.
2) La portata si presume costante e se non lo fosse si considera la portata media uguale durante i 12 secondi.
3) Se preferisci possiamo scrivere:

[math]\frac{M(t)}{t}\cdot v = F[/math]

Oh ma guarda il primo fattore a sinistra è la portata che resta costante.

Quindi chiamando Q la portata (che ripeto è costante) abbiamo:

[math]Q\cdot v =F[/math]

Adesso troviamo dalla prima equazione del mio primo post la forza di caduta:

[math]F_{caduta}=F_{letta}-mg-Mg[/math]

[math]F_{caduta}=6,5\cdot 9,81 - 5\cdot 9,81-1\cdot 9,81=4,905 \:N[/math]

Troviamo la velocità:

[math]v=\frac{F}{Q}=\frac{4,905}{0,833}=5,886 \: \frac{m}{s}[/math]

Ok? Se hai dubbi chiedi. ;)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Ah Enrico ti sollecito a mostrarmi la tua trattazione con la massa non costante, con la portata non costante differenziando ogni termine che vedi, affrontando un procedimento diverso dal mio giungendo ad un risultato plausibile e sensato. :)
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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AHahaah! Era cosi semplice ottenere la F?! Con una semplice sottrazione?!
Riguardo al secondo problema sulla sferetta?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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@track
continui a sbagliare i presupposti, ovvero dai per scontato che la relazione Mdv = Fdt sia sempre valida quando invece non è così. per questo cadi in conflitto in quello che scrivi: la forza di caduta non può essere costante nel tempo, perchè dipende dalla forza letta, che è variabile. ma allora non potevi portarla fuori dall'integrale inizialmente, scrivendo Qv = F: F è una funzione di t, dunque andava integrata.

questi sono sistemi a massa variabile, cui sono dedicati paragrafi nei libri di fisica. personalmente non li ho trattati. al massimo, su richiesta, posso inserire quello che c'è nel mio libro
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Può darsi ma il risultato ottenuto da track è compatibile col mio libro una spiegazione dovrebbe esserci...
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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xico io uso la forza di caduta (che è indipendente dalla massa nel secchio) non la forza letta!!!

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Il fatto è xico che io faccio considerazioni fisiche. Non mi interessa complicarmi la vita con integrali e calcoli astrusi quando posso farne a meno.

Aggiunto 19 minuti più tardi:

Per il secondo esercizio abbiamo che lungo x:

[math]\vec{I}_x=\Delta \vec{p}_x [/math]

Per poter calcolare la variazione di quantità di moto dobbiamo prima conoscere la velocità finale. Per trovare la velocità finale direi di sfruttare il teorema dell'energia non essendoci forze non conservative. Ma prima dobbiamo trovare quanto si alza la pallina durante il tragitto curvilineo. Con un po' di geometria elementare possiamo facilmente dedurre che l'angolo formato fra il raggio finale e quello iniziale è pari all'angolo che forma la tangente alla circonferenza con il piano orizzontale, pertanto avremo che l'altezza h vale:

[math]h=R(1-cos\theta)[/math]

Impostiamo le equazioni dell'energia:

[math]\frac{1}{2}m\cdot v_i^2=m\cdot g \cdot R(1-cos\theta)+\frac{1}{2}mv_f^2[/math]

Puoi ricavare la velocità finale da questa equazione. Adesso sai che il vettore velocità finale è tangente alla circonferenza pertanto ne conosci le coordinate. Conoscendone le coordinate puoi ricavare le componenti dell'impulso.

Se hai dubbi chiedi. ;)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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track ti spiego cosa sbagli, lascia stare il mio ultimo post (la forza di caduta è indipendente dal tempo per il fatto che ogni volta che aumenta la forza letta, aumenta anche M della stessa quantità, per cui ottieni una costante).
questo è un caso in cui NON puoi fare a meno degli integrali e dei differenziali.
il teorema afferma questo:
se la massa è costante, dmv = mdv. da questo, integrando, ricavi:
[math] \int dp = \int dmv = \int mdv = \int m \frac{dv}{dt} dt = \int F dt [/math]
.
ma se m non è costante, come fai ad affermare che
[math] \int dmv = \int F dt [/math]
?
non puoi dedurlo a priori, per questo servono delle formule per il caso di masse variabili nel tempo

edit: la compatibilità del risultato dipende da due fattori
1) il problema è risolto erroneamente anche da chi l'ha scritto
2) casualmente ti riconduci alla formula per masse variabili nel tempo


track ti spiego cosa sbagli, lascia stare il mio ultimo post (la forza di caduta è indipendente dal tempo per il fatto che ogni volta che aumenta la forza letta, aumenta anche M della stessa quantità, per cui ottieni una costante).
questo è un caso in cui NON puoi fare a meno degli integrali e dei differenziali.
il teorema afferma questo:
se la massa è costante, dmv = mdv. da questo, integrando, ricavi:
[math] \int dp = \int dmv = \int mdv = \int m \frac{dv}{dt} dt = \int F dt [/math]
.
ma se m non è costante, come fai ad affermare che
[math] \int dmv = \int F dt [/math]
?
non puoi dedurlo a priori, per questo servono delle formule per il caso di masse variabili nel tempo

edit: la compatibilità del risultato dipende da due fattori
1) il problema è risolto erroneamente anche da chi l'ha scritto
2) casualmente ti riconduci alla formula per masse variabili nel tempo
Newton_1372
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tril problema diceva di tralasciare la gravità...quindi non ho fatto altro che prendere i 9 metri al secondo e di dividerli nelle due componenti i e j facendo 9 cos 30 i + 9 sin 30 j. Il mio problema sarebbe un altro. Essendo l'impulso I = FdeltaT ed essendo F = ma dovrei calcolarmi l'accelerazione che la palla subisce con la formula
[math]v^2=v_0^2+2a\Delta x [/math]
ma non ho il delta x, che sarebbe lo spazio entro cui si è svolta l'accelerazione, cioè quell'arco di circonferenza...in che modo hai ricavato l'angolo al centro?
Aggiunto 1 giorni più tardi:

Ehi c'è nessuno...?!
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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L'arco di circonferenza altro non è che:

[math]s=\theta \cdot R[/math]

Per determinare l'angolo al centro è una fesseria se ti fai un disegno. Sai che il piano inclinato è tangente alla circonferenza, pertanto il raggio condotto al punto di tangenza è perpendicolare al piano inclinato. Prolunga quindi il raggio fino a che incontra il piano orizzontale. é facile notare come questo triangolino che ne esce sia metà triangolo equilatero e che quindi il raggio formi un angolo di 60° con il piano orizzontale. A questo punto è banale dire che l'angolo al centro vale 30 gradi.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Per quanto riguarda il problema 1 non ti preoccupare che la soluzione che ti ho dato è giusta. In realtà fare tutta la roba che ha fatto xico87 non serve. Se vuoi ti mostro i passaggini e le considerazioni da fare. Ma non è nulla di che. Se xico pensa che sia ancora sbagliato lo invito a risolvere pienamente l'esercizio.
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