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  • Problemi di fisica sulle molle

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Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Ho bisogno di aiuto per risolvere il problema 8.24 e 8.25. Ne trascrivo i testi e la mia tentata risoluzione, ringraziandovi sempre anticipatamente per l'aiuto prestatomi.

La molla ruotante

Una massa m è attaccata a una molla come indicato nella figura, e si muove lungo il perimetro di una ruota di raggio R disposta verticalmente. Detta
[math]l_0[/math]
la distanza che corrisponde alla posizione di riposo della molla, determinare l'energia potenziale del sistema in funzione dell'angolo
[math]\theta[/math]
.
TENTATA RISOLUZIONE: Abbiamo sia un energia potenziale gravitazionale che una dovuta all'allungamento della molla, cioè
[math]U_{tot}=U_g+U_m[/math]
.
Si ha
[math]U_g=mgh=mgR\sin\theta[/math]
con riferimento alla figura.
Riguardo all'energia potenziale elastica, abbiamo da considerare sia la componte orizzontale che quella verticale:
[math]U_x=\frac{1}{2}k\Delta x^2=\frac{1}{2}k(x_\theta-x_0)^2=\frac{1}{2}k(l_0+R\cos\theta-x_0)^2[/math]
intendendo con
[math]x_0[/math]
la componente x della lunghezza a riposo della molla (come me la trovo?!!!)
Si ha inoltre
[math]U_y=\frac{1}{2}k\Delta y^2 = \frac{1}{2}k(y_\theta-y_0)^2=\frac{1}{2}k(R\sin\theta-y_0)^2[/math]
con
[math]y_0[/math]
la componente verticale della lunghezza a riposo della molla (come me lo trovo?!)
Aggiunto 11 ore 36 minuti più tardi:

.
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Puoi postare l'immagine usando tinypic o immageshack? L'allegato non lo vedo e il disegno mi sarebbe comodo vederlo. :)

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Ragazzi per una volta lo dico io. Mettiamo ordine.

Allora come diceva ciampax abbiamo che la lunghezza totale della molla è data in funzione di
[math]\theta[/math]
da:
[math]\sqrt{l_0^2+R^2 +2Rl_0 cos\theta}[/math]
Teorema dei coseni.
Quindi l'energia potenziale elastica della molla sarà data da:

[math]U_e=\frac{1}{2}k\(l_0 -\sqrt{l_0^2+R^2 +2Rl_0 cos\theta} \)^2[/math]

Ed esce:

[math]U_e=\frac{1}{2}k \(2l_0 ^2+ R^2 + 2l_0 R cos\theta -2 l_0 \sqrt{l_0^2+R^2 +2Rl_0 cos\theta}\) [/math]

Per trovare l'energia potenziale totale del sistema basta aggiungere quella gravitazionale dovuta alla massa.

Chiaro che la soluzione datati non ha molto senso. Io ho ricontrollato tutti i conti e passaggi e non capisco perché ti dia quel risultato.

Per ciampax: la posizione di rilassamento per la molla è

[math]l=l_0 -R[/math]

Cosa intendi? La lunghezza a riposo è
[math]l_0[/math]
per ipotesi. Quello che hai scritto è la minima lunghezza della molla. No?
Aggiunto 4 ore 58 minuti più tardi:

Piccolo riepilogo. Allora abbiamo che
[math]l_0[/math]
è la distanza fra il punto di aggancio della molla al muro e il centro del disco che gira. Se quella è la coordinata x della molla a riposo abbiamo che l'angolo che forma a riposo è:
[math]\theta_0 = arctan \(\frac{R}{l_0}\)[/math]

Sbaglio?

Aggiunto 19 ore 12 minuti più tardi:

Ma se l_0 è la ascissa della molla a riposo, è chiaro che per quell'ascissa l'ordinata è R. visto che l_0 è disegnata coma distanza fra il punto di aggancio e il centro del disco.

Aggiunto 2 ore 4 minuti più tardi:

Ma secondo te
[math]l_0[/math]
che distanza è? Dal disegno è la distanza fra l'aggancio della molla e l'asse di rotazione. No? E se questa è la proiezione lungo x della lunghezza della molla a riposo, allora è come dico io.
Non ho capito cosa intendi tu.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Ho fatto! http://img706.imageshack.us/i/problemidifisica.jpg/

  • Ma in questo modo lei tiene conto solo della lunghezza FINALE della molla...invece non dovrebbe prendersi in considerazione l'allungamento, cioè d finale - d iniziale?

  • Aggiunto 5 minuti più tardi:

    Il risultato esposto nel libro è
[math] U_{tot}=U_0+kl_0(R\cos\theta-\sqrt{R^2+l_0^2+2l_0R\cos\theta})+mgR\sin\theta [/math]
con U con 0 arbitrario quindi facciamo fnta che non esista...
Aggiunto 7 ore 42 minuti più tardi:

E da dove lo deduce?! Non capisco...La molla della figura dovrebbe essere già in posizione di rilassamento....per definizione l0 è definita come la distanza orizzontale che corrisponde alla posizione di riposo della molla...Prendendo R parallelo a l0 la molla sarebbe compressa...

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Ok grazie! Comunque il disegno da teta in modo diverso...praticamente l'angolo che tu hai chiamato teta in realtà è il supplementare di teta! Questo fa sì che si abbia cos di 180-teta, cioè cos180costeta+sin180sinteta=-con teta! Quindi In pratica si ha che nella lunghezza iniziale della molla il termine cos teta ha segno negativo! Forse per questo il tuo risultato differisce dal libro...

Comunque questo teorema dei coseni mi mancava!! Quali altri teoremi sono importanti per risolvere problemi di questo tipo?

Aggiunto 13 minuti più tardi:

OH NO! HO RICONTROLLATO DA CAPO! l0 non è la lunghezza della molla per ipotesi! E' LA COMPONENTE ORIZZONTALE della lunghezza della molla a riposo, per ipotesi!!!! sIAMO punto e a capo! Il teorema dei coseni è servito solo ad abbreviare di molto il lavoro che cmq avevo fatto da solo usando Pitagora...Come mi trovo la LUNGHEZZA INIZIALE DELLA MOLLA?! avrei bisogno del teta iniziale, ma non ce lo da il testo! Magari c'è qualche altro teoremino a me sconosciuto che ci aiuti a trovare TETA CON ZERO?!

Aggiunto 20 ore 14 minuti più tardi:

No credo che track si sbagli...la tangente è definita su un triangolo rettangolo, ma dal disego si evince con chiarezza che il triangolo non è rettangolo...Oppure lo è ?! Quell'angolo è 90 gradi!?

Aggiunto 1 ore 16 minuti più tardi:

ma come....per prendere la componente verticale dell'angolo dovrei proiettare il punto dove si trova la massa a riposo lungo l0! questo segmento e R non sono conguenti, R è più lungo!

Aggiunto 15 ore 26 minuti più tardi:

Non riesco a capire...la tangente di alfa è il rapporto tra il cateto opposto e quello adiancente all'angolo alfa in un triangolo RETTANGOLO...ma io di triangoli rettangoli non ne vedo...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, sono d'accordo per quello che scrivi sull'energia potenziale gravitazionale. Per quella elastica, osserva che la massa m ha coordinate

[math]x_m=\ell_0+R\cos\theta,\qquad y_m=R\sin\theta[/math]

Ne segue che, al variare di
[math]\theta[/math]
la lunghezza della molla è pari a
[math]d=\sqrt{x_m^2+y_m^2}=\sqrt{\ell_0^2+R^2+2R\ell_0\cos\theta}[/math]

e quindi l'energia potenziale elastica risulta

[math]U_e=\frac{1}{2}k d^2=\frac{1}{2}k(\ell_0^2+R^2+2R\ell_0\cos\theta).[/math]

Aggiunto 7 ore 6 minuti più tardi:

Ah sì: la posizione di rilassamento per la molla è

[math]\ell=\ell_0-R[/math]

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Posso confessarvi che rileggendo sto problema mi sembra molto oscuro il significato di
[math]\ell_0[/math]
?

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (22-04-10 23:04, 6 anni 7 mesi 18 giorni )
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