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  • Problemi con la cinematica e la dinamica relativa !!!!!

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miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Ciao a tutti. Sto studiando la cinematica e la dinamica relativa e, come già in molti mi avevano preannunciato, la sto trovando alquanto complicata. Per quanto mi ci stia applicando e stia a mano a mano capendo qualcosina in più ho ancora però diversi dubbi. In particolare con le forze apparenti e con le accelerazioni da cui esse derivano. Ad esempio in molti esercizi l accelerazione di trascinamento in un sistema di riferimento non inerziale in moto rotatorio è data da questa relazione:

a(tra)=ΩxΩxr

dove sia Ω sia r sia a(tra) sono vettori. Questa dovrebbe essere poi l accelerazione che genera la forza centrifuga se ho capito bene. Ora però non capisco perchè il suo modulo è:

a(tra)=-Ω^2r(Ur)

Dove Ur è il versore radiale al moto rotatorio. Quello che non capisco è la presenza del meno. Con l accelerazione di coriolis la questione è simile. Vettorialemnte si avrebbe:

a(cor)=2Ωxv(r)

Dove le quantità sono tutte vettoriali e v(r) è la velocità di un corpo in movimento nel sistema di riferimento non inerziale. Anche in questo caso passando al modulo si ha:

a(cor)=2Ωv(r)(Ut)

con Ut versone tangente sia all asse di rotazione che al moto del corpo visto dal sistema di riferimento non inerziale. Tuttavia anche in questo caso spesso la quantità vettoriale appare negativa e ancora una volta non capisco perchè e quando si verifica. So che sono molto confuso e che probabilmente avrò sparato anche un sacco di boiate ed perciò vi chiedo di farmi luce su questa faccenda. Per essere magari un po più chiaro posto anche un esempio. L esercizio è il seguente:

Si consideri una piattaforma in rotazione attorno al suo asse verticale con velocità angolare Ω costante, su cui sia posto un osservatore O. Ad una distanza d dall' asse di rotazione della piattaforma si trova un oggetto di massa m in quiete rispetto ad un sistema di riferimento fisso a terra. Si descriva il moto dell oggetto osservato da O.

No mi serve in particolare la soluzione perchè già la so e bene o male l ho capita. Il problema è che però nella soluzione il libro dice che si hanno dal punto di vista dell osservatore delle forze apparenti he spiegano il moto della massa m vista dal sistema di riferimento non inerziale. Tali forze appartenti saranno la forza centrifuga e la forza di coriolis che sono responsabile del moto circolare visto dall osservatore O. Ora però il testo dice che la forza centrifuga sarà:

Fc=.mΩx(Ωxr)

dove Ω è il vettore velocità angolare perpendicolare alla piattaforma ed r è il vettore posizione che individua l oggetto rispetto all asse di rotazione della piattaforma. Ma perchè c è il meno??? e come faccio a distinguere i casi in cui ci deve essere da quelli in cui non c deve essere. Per la forza di coriolis il discorso è ancora peggiore. Il libro dice che la forza di coriolis sarà:

F(cor)=-2mΩxv'

dove v' è la velocità della massa misurata dal sistema di riferimento non inerziale. Ma ancora una volta perchè c è il meno?? e da cosa dipende??
Scusate se mi sono dilungato troppo, ma la situazione è critica e con questo argomento sto davvero andando in panico. Ringrazio in anticipo chiunque avrà la pazienza di aiutarmi.

Aggiunto 2 giorni più tardi:

ancora non credo che tu posso aver trovato il tempo e la volontà di farmi una spiegazione così esaustiva... davvero impressionante!!! ti ringrazio infinitamente. In effetti adesso le cose già sono un po più chiare, per quanto gran parte di questa dimostrazione l aveva già fatta il mio prof in classe, ma come al solito è andato velocissimo e molte cose che aiutano a capire meglio me l ero perse. Inoltre sei stato molto più chiaro e minuzioso. Ti ringrazio ancora tantissimo. Ora però che ho capito meglio le cose da un punto di vista teorico, vorrei però capire un po meglio negli esercizi come individuare tutto ciò, in particolare in quegli esercizi classici, in cui si assume la terra come sistema di riferimento non inerziale. Ad esempio ho questo esercizio:

Un aereoplano di massa 200 tonnellate è in volo da sud verso nord con velocità , relativa ad un osservatore terrestre, pari a 900 km/h. Si determinino modulo direzione e verso della forza di coriolis, quando si trovo alla latitudine di a=30° considerando sia il caso di latitudine nord sia di latitudine sud ( emisfero australe e boreale).

Ora per come l avevo interpretato io, l aereo durante il moto, passando da sud verso nord, dovrebbe quindi essere soggetto ad una forza di Coriolis che lo sposta verso est in quanto io la potrei in maniera penso molto spicciola e banale veder così: l aereo che sta all equatore, ruota con la terra, e dovrà compiere una circonferenza del valore dell equatore, in 24 ore; starà quindi compiendo un moto circolare uniforme su una determinata circonferenza, con una velocità tangenziale tale da permettergli di percorrere la circonferenza dell equatore in 24 ore; nel momento in cui sale verso nord ad una latitudine minore, starà sempre percorrendo una circonferenza, ma minore rispetto a quella che descriveva precedentemente, tuttavia nell istante prima aveva una determinata velocità tangenziale che gli permetteva di percorrere l equatore in 24 ore ed ora ha ancora quella velocità, ma deve percorrere una circonferenza più breve, percorrendola quindi in una periodo minore, e quindi si sposta verso est. E' giusto vederla così o sto ancora interpretando male la forza di Coriolis?
Nel caso sia giusto, per il ragionamento che hai fatto tu sulle accelerazioni, essendo l aereo in moto all interno del sistema di riferimento non inerziale, avrà una sua v' ( ed infatti è soggetto ad una forza di coriolis), ma non c sarà il termine a' essendo la v' costante. Se inoltre prendiamo un sistema di riferimento inerziale con asse z parallelo all asse z' (ovvero all asse di rotazione della terra) l accelerazione di trascinamenro vedrà il termine a(O')=0, in quanto l origine del sistema di riferimento non inerziale non è in movimento rispetto all origine del sistema di riferimento inerziale, mentre ci sarà il termine ΩxΩxr che potremmo vedere come il contributo del fatto che il sistema di riferimento non inerziale è in rotazione rispetto a quello inerziale. E' giusta la mia analisi della situazione fino a questo punto, al di là della richiesta dell esercizio??
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Concordo con te che l'argomento è complesso ma da un punto di vista analitico è fattibile e da lì possiamo partire a capire il senso fisico dei risultati che otteniamo. Come credo tu sappia prima di posizionarsi su un sistema di riferimento non inerziale (o in generale in movimento) Fissiamo un sistema di riferimento fisso di origine
[math]O[/math]
che (ipotizziamo in assoluto) non si muova; sia fisso. A questo punto mettiamoci ad osservare un moto posizionandoci su un'origine in moto rispetto al sistema fisso (ecco la necessità di avere un sistema fisso a cui riferirsi).
Chiameremo da ora in poi i vettori e le grandezze riferite al sistema non inerziale con una lettera avente apice, e l'origine del sistema di riferimento in moto con
[math]O'[/math]
.
Adesso si stratta di descrivere il moto vedendolo da un sistema non inerziale in riferimento all'altro sistema fisso.
Indicando con
[math]\vec{r}[/math]
il raggio vettore del sistema fisso, avremo:
[math]\vec{r}=\vec{OO'}+\vec{r'}[/math]

Chiaramente il nostro moto sarà in 3 dimensioni e chiamando rispettivamente
[math]\vec{u_x}[/math]
,
[math]\vec{u_y}[/math]
,
[math]\vec{u_z}[/math]
i tre versori lungo gli assi, possiamo descrivere i tre vettori visti sopra come:
[math]\vec{r}=x\vec{u_x}+y\vec{u_y}+z\vec{u_z}\\
\vec{r'}=x'\vec{u_{x'}}+y'\vec{u_{y'}}+z'\vec{u_{z'}}\\
\vec{OO'}=x_{O'}\vec{u_x}+y_{O'}\vec{u_y}+z_{O'}\vec{u_z}[/math]

Adesso cominciamo ad analizzare le grandezze in gioco. Chiamiamo velocità assoluta:

[math]\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}[/math]

ma da quello che abbiamo visto abbiamo:

[math]\vec{v}=\frac{dx}{dt}\vec{u_x}+\frac{dy}{dt}\vec{u_y}+\frac{dz}{dt}\vec{u_z}[/math]
.
In pratica la velocità assoluta è quella registrata rispetto al sistema inerziale, dove gli assi al massimo si muovono di moto rettilineo uniforme.
La velocità invece osservata dal sistema di riferimento non inerziale, che chiameremo velocità relativa, è data da:

[math]\vec{v'}=\frac{dx'}{dt}\vec{u_{x'}}+\frac{dy'}{dt}\vec{u_{y'}}+\frac{dz'}{dt}\vec{u_{z'}}[/math]

E questa è la velocità del punto P registrata da un osservatore situato nel sistema di riferimento non inerziale
[math]O'[/math]
.
A questo punto facciamo la stessa cosa con la velocità dell'origine O' rispetto ad O e avremo dunque:

[math]\vec{v_{O'}}=\frac{dx_{O'}}{dt}\vec{u_x}+\frac{dy_{O'}}{dt}\vec{u_y}+\frac{dz_{O'}}{dt}\vec{u_z}[/math]

Trovato l'espressione delle tre velocità, deriviamo direttamente rispetto al tempo la prima relazione trovata fra i raggi vettori. Otterremo dunque:

[math]\vec{v}=\vec{v_{O'}}+\vec{v'}+x'\frac{du_{x'}}{dt}+y'\frac{du_{y'}}{dt}+z'\frac{du_{z'}}{dt}[/math]

Come puoi vedere compaiono le derivate di versori. Questo come mai? Perché è chiaro che la velocità del punto rispetto ad
[math]O'[/math]
è diversa da
[math]\frac{dr'}{dt}[/math]
. Questo sembra un paradosso ma la spiegazione di ciò è che noi stiamo considerando la velocità assoluta. Facciamo un esempio tanto per capire bene. Un corpo fermo rispetto al sistema di riferimento inerziale. La sua velocità assoluta pertanto vale zero. Prendiamo ora il sistema di riferimento non inerziale ad una distanza d dal polo O che ruota attorno al suo asse z (
[math]\frac{dOO'}{dt}=costante[/math]
).
Per il sistema non inerziale il corpo compie una circonferenza attorno ad
[math]O'[/math]
. Applichiamo quanto trovato senza il termine correttivo delle derivate versoriali.
[math]\vec{v}=\vec{v_{O'}}+v'[/math]

chiaro che essendo
[math]\vec{v_{O'}}=0[/math]
avremo che
[math]\vec{v}=\vec{v'}[/math]
che è un assurdo. Ecco motivata la necessità di prendere anche le derivate dei versori.
Vediamo ora come possiamo scrivere le derivate di quei versori in modo più pratico anche da calcolare. Sfruttiamo come prima cosa il fatto che un versore ha modulo costante, pertanto la sua variazione può essere solo in direzione. Studiando una variazione infinitesima abbiamo che la derivata dipende dalla velocità angolare (grandezza che comporta la variazione di direzione) e questa sarà sempre tangente alla traiettoria circolare descritta dalla punte del vettore (ho scritto circolare in quanto per un infinitesimo di tempo la curva che descrive è approssimabile ad un arco di circonferenza), avremo pertanto:

[math]\frac{du_{x'}}{dt}=\vec{\omega}\times \vec{u_{x'}}[/math]

analogamente avremo per
[math]y'[/math]
e
[math]z'[/math]

Ma siccome i tre assi con apice, seppur in moto, sono legati in modo rigido tra loro, avremo che la velocità angolare è uguale per tutti e chiaramente potremo descrivere la correzione della velocità del punto P rispetto a
[math]O'[/math]
come:
[math]x'\(\vec{\omega}\times \vec{u_{x'}}\)+y'\(\vec{\omega}\times \vec{u_{y'}}\)+ y'\(\vec{\omega}\times \vec{u_{y'}}\)[/math]

raccogliendo
[math]\vec{\omega}[/math]
otteniamo che il termine correttivo (derivata dei versori) è pari a:
[math]\vec{\omega} \times \vec{r'}[/math]

Ma allora adesso possiamo scrivere:

[math]\frac{dr'}{dt}=v'+\vec{\omega}\times \vec{r'}[/math]
.
Vado avanti fra un po' che comincio ad avere le traveggole a forza di usare latex.

Aggiunto 2 ore 50 minuti più tardi:

Riprendendo il discorso precedente possiamo così procedere.
A questo punto diventa interessante valutare quale sia lo scarto delle velocità fra un sistema di riferimento e l'altro. Se noi ne facciamo la differenza otteniamo:

[math]\vec{v}-\vec{v'}=\vec{v_{O'}}+\vec{\omega}\times \vec{r'}[/math]

Tale differenza verrà definita come velocità di trascinamento. Essa infatti descrive come le equazioni del moto siano regolate in base allo spostamento di O'. Per farti meglio capire il concetto analizziamo i termini della velocità di trascinamento. È chiaro, per come è stata definita, che la velocità di trascinamento diferisce da quella assoluta per il termine
[math]v'[/math]
. Quindi da un punto di vista fisico possiamo interpretare questa cosa come se
[math]v'=0[/math]
. Quindi la velocità di trascinamento è uguale a quella assoluta di un punto Q fisso nel sistema di riferimento non inerziale descritto da un osservatore posto sul sistema di riferimento inerziale. Facciamo un esempio. Prendiamo i nostri due sistemi di riferimento come descritti nell'esempio sopra. Avremo che per
[math]O'[/math]
il punto Q è fermo per la condizione
[math]v'=0[/math]
. Per
[math]O[/math]
invece il punto sta compiendo una traiettoria circolare di raggio r' con centro distante
[math]OO'[/math]
da
[math]O[/math]
. Allora la velocità di trascinamento, diventa proprio la velocità che ha il punto Q rispetto ad O.
(Spero si capisca cosa intendo dire).

Passiamo ora alle accelerazioni, argomento che interessava a te. Ho dovuto inserire la parte delle velocità altrimenti non capivi nulla.

Definiamo accelerazione assoluta l'accelerazione del punto P rispetto al sistema di riferimento inerziale
[math]O'[/math]
. Quindi per componenti potremo scrivere:
[math]\vec{a}=\frac{d^2x}{dt^2}\vec{u_x}+\frac{d^2y}{dt^2}\vec{u_y}+\frac{d^2z}{dt^2}\vec{u_z}[/math]

Rispetto al sistema non inerziale avremo parallelamente alla velocità l'accelerazione:

[math]\vec{a'}=\frac{d^2x'}{dt^2}\vec{u_{x'}}+\frac{d^2y'}{dt^2}\vec{u_{y'}}+\frac{d^2z'}{dt^2}\vec{u_{z'}}[/math]

Adesso dobbiamo analizzare l'accelerazione del sistema di riferimento
[math]O'[/math]
rispetto ad O. Ma questa sappiamo essere la derivata rispetto al tempo di
[math]v_{O'}[/math]

[math]a_{O'}=\frac{d\vec{v_{O'}}}{dt}[/math]

Sapendo che l'accelerazione è la derivata rispetto al tempo della velocità possiamo derivare il teorema delle velocità relative esposto prima, ottenendo così:

[math]\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\vec{v_{O'}}}{dt}+\frac{d\vec{v'}}{dt}+\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times \vec{r'}+\vec{\omega}\times \frac{d\vec{r'}}{dt}[/math]

Vediamo ora di analizzare il rapporto
[math]\frac{d\vec{v'}}{dt}[/math]
. Avremo che:
[math]\frac{d\vec{v'}}{dt}=\frac{d}{dt}\( \frac{dx'}{dt}\vec{u_{x'}}+\frac{dy'}{dt}\vec{u_{y'}}+\frac{dz'}{dt}\vec{u_{z'}} \)= \vec{a'}+\vec{\omega}\times \vec{v'}[/math]

Il per il secondo termine omega vettore v' è ottenuto derivano i versori come prima.

Adesso come possiamo notare abbiamo un termine che descrive l'accelerazione assoluta di difficile comprensione, ossia:

[math]\vec{\omega}\times \frac{d\vec{r'}}{dt}[/math]

Per arginare tal problema riprendiamo la relazione descritta precedentemente:

[math]\frac{d\vec{r'}}{dt}=\vec{v'}+\vec{\omega}\times \vec{r'}[/math]

Adesso moltiplicando tutto per
[math]\vec{\omega}[/math]
otterremo proprio quello che ci serve (
[math]\vec{\omega}\times \frac{d\vec{r'}}{dt}[/math]
). In questo modo possiamo arrivare a descrivere l'accelerazione assoluta come segue:
[math]\vec{a}=\vec{a'}+\vec{a_{O'}}+\vec{\omega}\times\(\vec{\omega} \times \vec{r'} \)+\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times \vec{r'}+ 2\vec{\omega}\times \vec{v'}[/math]

e finalmente siamo arrivati a determinare il teorema delle accelerazioni relative.

Aggiunto 28 minuti più tardi:

Allora adesso che siamo arrivati in fondo alla dimostrazione (dopo qualche difficoltà) andiamo a vedere cosa vogliono dir tutti quei termini da un punto di vista fisico.

[math]\vec{a'}[/math]
descrive l'accelerazione del punto P rispetto all'osservatore posto in
[math]O'[/math]
. Penso non ci siano problemi da questo punto di vista.
[math]\vec{a_{O'}}[/math]
è l'accelerazione del sistema non inerziale rispetto ad O (che è quello inerziale).
Adesso comincia il bello.

Vediamo, come per analizzare gli altri termini, sia utile vedere, come nel caso delle velocità, la differenza fra l'accelerazione assoluta e quella relativa per determinarne quella di trascinamento.

Avremo quindi (improntando già l'aspetto secondo un senso fisico) che
[math]v'=0[/math]
e
[math]a'=0[/math]
, pertanto eliminando i termini contenenti questi parametri troviamo:
[math]\vec{a_t}=\vec{a_{O'}}+\vec{\omega}\times \( \vec{\omega}\times \vec{r'} \) + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\times \vec{r'}[/math]

A conseguenza di ciò possiamo scrivere in forma più comprensibile e sintetica la relazione:

[math]\vec{a}=\vec{a'}+\vec{a_t}+\vec{a_c}[/math]

Notiamo che
[math]\vec{a_c}[/math]
detta accelerazione di Coriolis sia pari a:
[math]\vec{a_c}= 2\vec{\omega}\times \vec{v'}[/math]

L'accelerazione di Coriolis dipende dal moto del corpo rispetto all'osservatore posto in
[math]O'[/math]
, corpo che si muove con velocità
[math]v'[/math]
. Notiamo infatti che se il corpo rispetto al sistema di riferimento non inerziale non si muove il termine di Coriolis scompare.
Per farti capire a cosa serve l'accelerazione di Coriolis prendiamo un esempio pratico.
Approssimiamo la terra ad una sfera, e che questa giri attorno ad un asse fisso z perpendicolare al piano equatoriale. Ora facciamo finta di essere all'equatore. Lanciamo un sasso verticalmente (direzione radiale dal centro della sfera). Un osservatore solidale alla terra vede il sasso cadere non verticalmente ma spostarsi leggermente verso est. Quindi secondo l'osservatore ci deve essere una forza che lo spinge verso est (in realtà sappiamo essere apparente). Tale spostamento è dato dalla forza di Coriolis. Ma allora tu mi dirai: "ma un senso fisico no?"
Il suo senso fisico è facile da trovare. Immagina di essere su una giostra che gira (fa finta che questa sia piana e sgombra dai giochi). Parti dal centro della giostra e cominci a camminare verso il bordo. Se ci pensi la tua velocità periferica aumenta (prendendo come sistema di riferimento il centro della giostra) pertanto se la tua velocità aumenta significa che hai un'accelerazione e tale accelerazione è proprio l'accelerazione di Coriolis.

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Il meno del modulo di
[math]\vec{\omega} \time \(\vec{\omega} \times \vec{r'}\)[/math]
è semplicemente una conseguenza del prodotto vettoriale. Prendi la terra che gira, il solito raggio sul piano equatoriale, e fai quel prodotto vettoriale. Ti accorgerai che risulta essere un vettore orientato lungo
[math]-\vec{u_{r}}[/math]
.
Anche se ci sarebbe da precisare che quello che hai scritto te non assolutamente il modulo di quella roba. Hai solo diviso la componente e il versore. Il modulo sarebbe:

[math]|| \vec{\omega} \time \(\vec{\omega} \times \vec{r'}\)|| =\omega ^2\cdot r' \cdot sin \alpha[/math]

Ecco adesso rileggo se hai scritto altro. Intanto se hai dubbi chiedi. ;)

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Spero di essere stato chiaro. :)
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