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  • Problema sul moto circolare uniforme (118706)

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Giulio-
Giulio- - Eliminato - 13 Punti
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Un satellite geostazionario ha una velocità di 509 m/s. Determina la sua altezza rispetto al suolo terrestre.
Argo33
Argo33 - Sapiens - 619 Punti
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Il secondo principio della dinamica,
[math]F = ma [/math]
, consente di prevedere il periodo e la velocità di un satellite che si muove su un’orbita circolare.
Se indichiamo con v il valore della velocità del satellite,
G=Costante gravitazione universale=
[math]6,67 x 10^-11 m^3/kg s^2[/math]
m la massa del satellite,
R la distanza tra il satellite e la superficie del pianeta,
M la massa del pianeta
[math](Terra=5,9736 x 10^24 kg)[/math]
.
Nel secondo principio della dinamica sostituiamo al posto di F la forza di gravità che agisce sul satellite e al posto di a la sua accelerazione centripeta: F = ma
[math]G mM/R^2= m v^2/R[/math]
Semplificando m e R si ha:
[math] V^2=GM/R^2 [/math]
[math] V=√GM/R^2 [/math]
Per la formula inversa
[math] R^2 = GM/V^2 [/math]
[math] R = √GM/V^2 [/math]
[math] R=√(6,67 x 10^-11 m^3/kg s^2) * (5,9736 x 10^24 kg)/(509 m/s)^2 [/math]
[math] R= 392.159,91 m = 392,159 km [/math]

@TEM, non che voglia oontraddirti, ma con la procedura che ho esposto ottieni l'altezza corrispondente alla velocità circolare richiesta.
Se applichi la formula inversa
[math] V=√GM/R^2 [/math]
ottieni la velocità indicata nel problema.
[math] V=√GM/R^2 = √(6,67 x 10^-11 m^3/kg s^2) * (5,9736 x 10^24 kg)/(392.159,91 m)^2=[/math]
[math] 509 m/s [/math]
Questo ovviamente non esclude che vi siano, nel problema, errori concettuali, ma, a prescindere, il calcolo preteso nel problema è risolvibile con questa procecudura
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ragazzi, per cortesia, cerchiamo di far ragionare chi pone le domande? Altrimenti non impareranno mai!! Poi, scusate, ma questo è un problema che lo si risolve imponendo un semplice equilibrio tra forze!

Infatti, disegnata una circonferenza nel cui centro O immaginiamo esserci la Terra e in un proprio punto P il satellite, esso è soggetto essenzialmente a due forze: quella di attrazione gravitazionale e dato che ruota a quella centrifuga. Badando bene che la prima è applicata in P e punta verso O e la seconda applicata sempre in P, parallela a P-O ma di verso opposto, perché siano in equilibrio (ossia perché mantengano P costantemente su tale circonferenza) i loro moduli devono essere uguali.

Eguagliando le semplici espressioni dei due moduli (che si suppone siano facilmente reperibili in qualsiasi libro di fisica) la massa del satellite si semplifica, la velocità del satellite è nota così come la massa della Terra e la costante di gravitazione universale, quindi è sufficiente esplicitare la distanza
[math]r=r_T+h[/math]
per risolvere il problemino. Però, ecco, ancora una volta, è bene guidare nei ragionamenti e lasciare la parte tecnica al richiedente, altrimenti al prossimo problema sarà di nuovo in difficoltà.

Spero di essere stato abbastanza chiaro ;)


P.S. per amor della cronaca:
[math]r = G\frac{M_T}{v_{sat}^2}[/math]
.
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Ok TeM, cancello per correttezza la mia soluzione, ma una curiosità (perdona la mia eventuale sciocchezza ho finito di studiare nel 1987 e forse non sono più tanto ferrato in materia ;) ):

ragionando con la semplice formula della velocità del moto circolare uniforme, sapendo la velocità del satellite e il tempo di percorrenza dell'orbita (24 ore essendo geostazionario) era un errore?

:hi

Massimiliano

P.S.

... dovrebbe essere uguale, perchè se considero che i reali satelliti geostazionari orbitano ad una velocità di circa 11000 km/h, e cioè 3055 m/s, utilizzando la formula:

[math] v = \frac {2\;.\;\pi \;.\;r}{t} [/math]

ponendo t = 24 ore (cioè 86400 s), ricavando r (raggio orbita dal centro della terra) e togliendo a questa 6371 km (raggio medio della terra) si ottiene 35659 km, che è sufficientemente prossimo, come risultato, ai 36000 km dell'orbita standard di un satellite geostazionario reale.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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@ Max 2433/BO, non ho scritto che la tua risoluzione sia scorretta, dato che non lo è.
Sono intervenuto con l'obiettivo principe di invitarvi a far ragionare di più chi pone la
domanda e poi ho aggiunto il mio punto di vista sulla risoluzione dato che nella risposta
di Argo33 ho visto comparire radici che in questo caso non sono presenti. :)


Però, ecco, ora che mi sono liberato dagli impegni, con un po' di calma, ho cercato di
"sistemare" tutti i tasselli e per ovvie ragioni non sono andati al loro posto. Infatti, nel
problema in oggetto, "satellite geostazionario" e la "velocità del satellite" sono in antitesi
tra loro: insomma, sono fisicamente incompatibili!

Infatti, se il satellite è "geostazionario" allora dalla dinamica si ha
[math]r = G\frac{M_t}{v_{sat}^2}[/math]
e dalla
cinematica
[math]v_{sat} = \frac{2\,\pi\,r}{T}[/math]
con
[math]T=86400\,s[/math]
circa. Dunque, assemblandole, si ottiene
[math]r = \sqrt[3]{G\,M_t\,\left(\frac{T}{2\,\pi}\right)^2} \approx 4.22\cdot 10^7\,m[/math]
e quindi la "velocità del satellite" risulta pari a
[math]3071\,\frac{m}{s}\\[/math]
circa.
Nel caso, invece, la "velocità del satellite" fosse proprio pari a
[math]509\,\frac{m}{s}[/math]
allora necessariamente
deve trattarsi di un altro pianeta e quindi non è corretto parlare di "geostazionarietà". :)
Argo33
Argo33 - Sapiens - 619 Punti
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@TEM, non che voglia oontraddirti, ma con la procedura che ho esposto ottieni l'altezza corrispondente alla velocità circolare richiesta.
Se applichi la formula inversa
[math]V=√GM/R^2[/math]
ottieni la velocità indicata nel problema.
[math]V=√GM/R2=√(6,67x10−11m3/kgs2)∗(5,9736x1024kg)/(392.159,91m)^2=[/math]
[math] 509m/s [/math]
Questo ovviamente non esclude che vi siano, nel problema, errori concettuali, ma, a prescindere, il calcolo preteso nel problema è risolvibile con questa procecudura
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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@Argo33, tranquillo non siamo qui per contraddirci o per menarci a colpi di formule, io gradisco il confronto, ma vedi, il problema è proprio di fondo. :)

Prima cosa rivedi quello che hai scritto. Infatti, ribadisco, c'è qualche radice quadrata di troppo (già nei primi calcoli che hai mostrato). Poi, cosa più importante, le "formulette" in fisica acquisiscono valore se applicate correttamente, altrimenti sono meri calcoli senza alcun riscontro nella realtà. Ecco perché è bene partire sempre da dei bilanci, da delle "equazioni di carattere fisico", aiutano a non sbagliare.

Quello che scrivi, ossia applicare la formula inversa o diretta è ovvio che torni dato che se a monte calcoli una distanza priva di significato fisico (non per colpa tua ma per chi ha scritto il problema) se inverti la formuletta non mi meraviglia che ritrovi la medesima velocità, hai solo girato la frittata. Ciò però non toglie che il tutto sia privo di fondamenta.

Un po' come dire che se il lato di un quadrato misura radice di meno uno allora la sua area misura meno uno: mi pare ovvio che seppur dal punto di vista matematico tutto torni, dal punto di vista geometrico non abbia alcun senso e quindi il tutto sia privo di significato.

Spero sia chiaro ;)
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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@ TeM

Nessun problema, tranquillo!!

:hi

Massimiliano
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