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  • Momento di inerzia di un anello sottile rispetto a un asse parallelo al piano dell'anello

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Newton_1372
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http://img821.imageshack.us/i/anello.png/

Tentata risoluzione. Il momento d'inerzia di ogni punto dell'anello è
[math] dI = d^2 dm = d^2 \sigma dS = d^2\sigma r d\phi[/math]
. Avendosi
[math]\tan\theta = \frac{r}{x} [/math]
si ha in definitiva
[math]dI = d^2\sigma r d\phi=(r\sec(\arctan\frac{r}{x}))^2\sigma r d\phi[/math]

è giusto almeno teoricamente? Poi dovrei integrare da 0 a 2 pi per avere il momento d'inerzia totale totale

[math]I = \int_0^{2\pi} r^3\sec^2(\arctan\frac{r}{x})\sigma d\phi[/math]
the.track
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Dunque vediamo. Io direi che:

[math]I_z= \int R^2 dm [/math]

Adesso trovo un espressone migliore per
[math]dm[/math]
, avremo quindi:
[math]I_z=\rho _l R^2 dl[/math]

Dove con
[math]\rho_l[/math]
ho indicato la densità lineare dell'anello.
Da qui possiamo risolvere vedendo che l'unica grandezza dipendente da
[math]l[/math]
è il suo stesso differenziale. Quindi:
[math]I_z=\rho_l R^2 2\pi R[/math]

Semplificando con la densità risolvi e trovi appunto che:

[math]I_z=mR^2[/math]

;)

Aggiunto 42 secondi più tardi:

Ricordati di sfruttare le simmetrie! In questo caso le coordinate polari sono le migliori.
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