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  • Fisica - Vettori ortogonali ad altri vettori

Non ricordo
Non ricordo - Erectus - 50 Punti
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Buongiorno.

Ho riscontrato alcune difficoltà nella risoluzione del seguente problema:

Tra tutti i vettori ortogonali al vettore
[math]u = (1,2,0)[/math]
e a
[math]v = (0,1,-1)[/math]
, determinare i vettori generici
[math]w[/math]
aventi norma pari a
[math]||w|| = \sqrt(3)[/math]
.
Io sò che un vettore è perpendicolare ad un altro vettore se il loro prodotto scalare è 0, perché
[math]\cos \frac \pi 2 = 0[/math]
. Non sò se questa informazione mi serve a qualcosa... altrimenti potrei utilizzare il prodotto vettoriale, che produce un vettore ortogonale e poi generalizzarlo con una costante...
Mi sapreste dare una mano?

Ringrazio in anticipo per le risposte

Questa risposta è stata cambiata da Cherubino (07-12-08 21:47, 8 anni 4 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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in primo luogo, cos(pg) = -1 mentre cos(pg/2) = 0.
devi usare il prodotto scalare (= prodotto riga per colonna tra matrici 1*n e n*1).
ora non ho voglia di rompermi troppo col latex: il vettore colonna lo indico tra parentesi quadre, vettore riga tra parentesi tonde.

il problema ti dà delle condizioni:
(1,2,0) [a,b,c] = 0 => a + 2b = 0 => a = -2b
(0,1,-1) [a,b,c] = 0 => b - c = 0 => b = c

il vettore sarà dunque: w = (-2b,b,b)

l'altra condizione è che la norma sia rad(3), quindi:
a^2 + b^2 + c^2 = 3 (pitagora generalizzato)

ovvero:
4b^2 + b^2 + b^2 = 3

intuitivamente, i due vettori u e v giacciono su un piano (nel senso che lo individuano), quindi è coerente trovare solo 2 vettori che soddisfino a quelle condizioni, uno opposto all'altro
Non ricordo
Non ricordo - Erectus - 50 Punti
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Ti ringrazio per la risposta.

Quindi, ricapitolando, i vettori ortogonali al piano in cui giacciono i due vettori
[math]u[/math]
e
[math]v[/math]
, ha componenti
[math]w = (-2k, k, k)[/math]
. Fin qui c'ero più o meno arrivato. Però se la norma di
[math]w^2[/math]
deve essere 3, come le indico le componenti del vettore generale?
[math]k = 1/\sqrt(2)[/math]
?
Quindi il vettore dovrebbe essere
[math]w = (-2/\sqrt(2),1/\sqrt(2),1/sqrt(2))[/math]
, giusto?
P.S: Ma LaTeX non è tra $...$?
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Non dimenticare anche il vettore "speculare";
la soluzione completa è:

[math]\vec w = \pm \frac 1 {\sqrt 2} (-2, 1, 1)[/math]

Già che ci sono ti scrivo come avresti potuto fare utilizzando il prodotto vettoriale:
[math]\begin{array}{|ccc|}
\vec i & \vec j & \vec k \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\

\end{array} = (-2 ) \vec i + 1 \vec j + 1 \vec k = (-2, 1, 1)[/math]

poi, moltiplichi tutte le componenti per uno scalare:
[math]\vec w = \alpha (-2, 1, 1)[/math]
e come prima, trovi il valore di alpha richiedendo che il modulo al quadrato sia 3.
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