ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Nel piano (O x,y) con y verticale ascendente, è mobile il sistema materiale pesante costituito da una lamina omogenea a forma di semidisco di diametro OA e da un'asta omogenea AB.
la lamina ha diametro "f" e massa M , l'asta ha lunghezza "f" e massa m.

trovare il baricentro G ed il momento d'inerzia della lamina rispetto all'asse passante per G e normale al piano.

Aggiunto 17 ore 53 minuti più tardi:



spero di essere riuscita a postare l'immagine...

Aggiunto 10 ore 4 minuti più tardi:

tutto chiarissimo!!! ora finalmente ho capito come si fa!!
guarda ti ringrazio tantissimo!!!! grazie grazie e ancora grazie!!

alla prossima! ciaoo!!!
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Puoi postare l'immagine su tinypic o imageshack? Il sito da problemi per aprire gli allegati.

Aggiunto 18 ore 38 minuti più tardi:

Allora la nostra strategia sarà quella di sfruttare il fatto che il baricentro è definito come:

[math]\vec{r}_{CM}=\frac{\int \vec{r}\:dm}{\int \:dm}=\frac{\int \vec{r}\rho \:dV}{m}[/math]

Formula che deriva direttamente dallo studio dei sistemi di punti materiali. Pertanto avremo che il centro di massa sarà dato da:

[math]\vec{r}_{CM}=\frac{m_{disc}\cdot\vec{r}_{disc}+m_{sb}\cdot\vec{r}_{sb}}{m}[/math]

Pertanto possiamo trovare il baricentro di ogni corpo (più semplice) e poi farne in pratica la media pesata.

Quindi vediamo il semidisco.

Consideriamo per comodità una zona infinitesima di disco delimitata da due corde parallele al diametro e distanti fra loro
[math]dy[/math]
. Dal centro del disco tale zona sarà distante
[math]y+dy[/math]
. La lunghezza dell'elemento considerato, ossia la sua proiezione sul diametro se vogliamo, sarà data da Pitagora:
[math]2x=2\sqrt{\(\frac{f}{2}\)^2-y^2}[/math]

La massa infinitesima dell'elemento sarà data da:

[math]dm=\rho \:dS=\rho \cdot 2 \cdot x dy[/math]

Dove con
[math]\rho[/math]
indichiamo la densità superficiale, che fra l'altro riteniamo costante. Quindi la massa del semidisco sarà:
[math]m=\frac{\rho \cdot \pi r^2}{2}[/math]

È ragionevole considerare che il centro di massa risulti essere collocato lungo l'asse del diametro per simmetria. Avremo dunque:

[math]m\cdot y_{CM}=\int y\rho 2x\:dy=2\rho\int_0^{\frac{f}{2}}xy\:dy[/math]

Notiamo però ora che al variare di y da 0 a f/2 la x varia da f/2 a 0. Prima abbiamo visto come y sia funzione di x, pertanto differenziando tale equazione:

[math]dy=-\frac{xdx}{\sqrt{(f/2)^2-x^2}}=-\frac{x}{y}dx \right y\: dy =-x\:dx[/math]

Quindi sostituendo:

[math]m\cdot y_{CM}=2\rho \int_0^{f/2}x^2dx=\frac{2}{3}\rho \(\frac{f}{2}\)^3[/math]

Sostituendo quindi m troviamo:

[math]y_{CM}=\frac{4(f/2)}{3\pi}[/math]

Equivalentemente fai per la sbarra.

Adesso per trovare il centro di massa di tutto il sistema riapplica la definizione.

Adesso ti posto anche il momento d'inerzia. Dammi un attimo.

Aggiunto 16 minuti più tardi:

Per il momento d'inerzia avremo che come il centro di massa è definito tramite una sommatoria o un integrale pertanto possiamo sommare i vari momenti d'inerzia basta che questi siano calcolati rispetto ad uno stesso asse. Quindi troveremo il momento d'inerzia del semidisco rispetto all'asse passante per G e lo sommeremo a quello della sbarra sempre calcolato rispetto al medesimo asse. Adesso il problema arriva nel determinare numericamente i due. A nostro vantaggio sono nati due signori che danno il nome ad un teorema comodissimo detto teorema di Huygens-Steiner. Questo dice che il momento d'inerzia di un corpo è dato dalla somma del momento d'inerzia calcolato rispetto all'asse parallelo a quello scelto passante per il centro di massa, più il termine dato dalla massa del corpo moltiplicato la distanza del centro di massa del corpo dall'asse elevato alla seconda.

I calcoli sono praticamente gli stessi del calcolo della posizione del centro di massa, solo che avrai un
[math]\(\vec{r}\)^2[/math]
anziché un semplice
[math]\vec{r}[/math]
.
Prova a fare i conti, se hai dubbi o problemi chiedi che vedremo di risolverli. ;)
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