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  • Esercizio sui corpi rigidi - Disco sopra un blocco

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Fabien
Fabien - Erectus - 146 Punti
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Buongiorno.

Ho un esercizio sui corpi rigidi, riporto il testo.

Un blocco di massa

[math]M = 20 \ kg[/math]
scorre su di un piano orizzontale privo di attrito spinto da una molla di costante elastica
[math]k = 100 \ \frac{N}{m}[/math]
con estremo O fisso rispetto al piano e sopra il blocco è appoggiato un disco di massa
[math]m = 10 \ kg[/math]
e di raggio
[math]R=0.2 \ m[/math]
dove il centro C è mantenuto fermo rispetto al piano da un filo teso orizzontale.
All'istante iniziale il blocco e il disco sono fermi e la molla è compressa dalla lunghezza
[math]\Delta x=0.25 \ m[/math]
. Nel moto successivo il disco ruota intorno al punto fisso C senza strisciare.
Determinare all'istante iniziale:
a) l'accelerazione del blocco;
b) la tensione del filo;
All'istante in cui la molla assume la lunghezza di riposo, il blocco urta in modo completamente anelastico un fermo posto sul piano. Determinare:
c) la velocità del blocco subito prima dell'urto;
d) la velocità angolare del disco subito dopo l'urto;
e) il tempo al quale avviene l'urto rispetto all'istante iniziale t=0.
mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Sul blocco agiscono la forza elastica F_el (che spinge verso destra) e la forza di attrito con il disco (diretta verso sinistra).

Indico con x la deformazione della molla

Eq. Moto per il blocco:

[math]Ma=F_{el}-f_a=-kx-f_a[/math]
(nota che x<0, quindi la forza elastica spinge in avanti)

Sul disco agiscono: la tensione del filo T (verso sinistra) e la forza di attrito con il blocco (verso destra), che lo fa girare. Le due forze di attrito tra blocco e disco sono uguali in modulo e opposte in verso (azione-reazione).

Eq. moto traslazionale del disco:

[math]0=-T+f_a[/math]

Eq. moto rotazionale del disco:
[math]I\alpha=Rf_a[/math]

Condizione di puro rotolamento:
[math]\alpha=\frac{a}{R}[/math]

L'ultima equazione diventa:
[math]\frac{1}{2}mR^2\frac{a}{R}=Rf_a[/math]
da cui si ricava
[math]f_a=\frac{1}{2}ma[/math]

Sostituendo nella equazione per il blocco:
[math]Ma=-kx-\frac{1}{2}ma[/math]

[math]a=\frac{d^2x}{dx^2}=-\frac{k}{M+\frac{1}{2}m}x[/math]

che e` l'eq. di un oscillatore armonico semplice.

Da qui in poi dovresti riuscire a proseguire. Se non ci riesci posta il tuo tentativo e ti aiuteremo.

Fabien
Fabien - Erectus - 146 Punti
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Ho svolto il sistema e mi risulta

[math]T=5 \ N[/math]
e
[math]a=1 \ \frac{m}{s^2}[/math]

tenendo conto che il segno meno viene eliminato perchè
[math]x[/math]
è negativo.
Il punto c) e d) potrei fare ausilio delle equazioni cardinali, tenendo conto che la molla è a riposo e quindi sparisce la forza elastica, da questo punto quindi la massa
[math]M[/math]
ha una velocità iniziale
[math]v_0[/math]
:
[math]M\ \frac{dv}{dt}=-f_a[/math]

da cui ricavo:
[math]dv=-\frac{f_a}{M}dt[/math]

Integro entrambi i membri:
[math]\int_{v_0}^{v}dv=-\int_{0}^{t}\frac{f_a}{M}dt[/math]

ottengo
[math]v(t)=v_0-\frac{f_a}{M}t [/math]

Prima dell'urto la velocità
[math]v[/math]
è nulla e il tempo
[math]t[/math]
è il tempo che impiega la massa
[math]M[/math]
dal punto in cui la molla è a riposo (la massa ha velocità
[math]v_0[/math]
) fino al punto in cui arriva ad urtare il fermo.
Lo stesso procedimento vale per la velocità angolare del disco:
[math]I\frac{d\omega}{dt}=f_a R[/math]

Se integro ottengo
[math]\omega=\omega_0+\frac{2f_a}{M}t[/math]

Pensavo in alternativa di calcolare la velocità del blocco prima dell'urto di utilizzare il teorema del lavoro delle forze di attrito ma non so se è una buona idea, nell'urto utilizzerei la conservazione del momento angolare per calcolare la velocità angolare del disco dopo l'urto.

e) Credo sia una diretta conseguenza dei punti c e d con tempo iniziale calcolato dal momento in cui la molla è a riposo fino al tempo in cui la massa urti il fermo.

mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Giusta l'accelerazione e la tensione.

Ma il resto del problema e` completamente sbagliato, e non riesco neanche a capire che ragionamento hai fatto...

Se hai risolto i punti a e b hai trovato l'equazione del moto:

[math]\frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{k}{M+\frac{m}{2}}x=-\omega^2 x[/math]

con
[math]\omega=\sqrt{\frac{k}{M+\frac{m}{2}}}[/math]

Quando hai l'equazione di un moto armonico semplice, l'unica cosa da fare e` risolverla! Con le condizioni iniziali :
[math]x(0)=\Delta x[/math]
,
[math]{v_0}=\frac{dx}{dt}(0)=0[/math]
la soluzione e`:
[math]x(t)=\Delta x\cos\omega t[/math]

La posizione di riposo della molla e` x=0, e questo avviene nell'istante
[math]t_1[/math]
in cui:
[math]\cos\omega t_1=0[/math]
cioe`
[math]t_1=\pi/2\omega[/math]
.
In questo istante la velocita` e`:
[math]v(t_1)=-\omega\Delta x \sin(\omega t_1)=-\omega\Delta x [/math]
e non e` affatto zero!!! Che ragionamento hai fatto per trovare che la velocita` prima dell'urto e` zero proprio non lo capisco.

Subito dopo l'urto il blocco e` fermo, ma il disco non urta il blocco. Subito prima dell'urto la sua velocita` angolare e`

[math]\Omega_1=v_1/R[/math]
in senso antiorario. Quando il blocco si ferma il disco prosegue rotolando verso sinistra con questa velocit\`a (il filo si allenta).
Fabien
Fabien - Erectus - 146 Punti
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Ho sbagliato approccio (completamente) nella seconda parte dell'esercizio...

Quindi se non erro, al punto c) ho una velocità (il segno meno sparisce in quanto la deformazione della molla è negativa)

[math]v(t_1)=0.5 \ \frac{m}{s}[/math]

prima dell'urto per quanto riguarda il blocco.
Al punto d) per il disco la velocità angolare prima e dopo l'urto è
[math]\Omega_1=2.5 \ \frac{rad}{s}[/math]

verso sinistra, la ruota gira in senso antiorario.
Il punto e) il tempo in cui avviene l'urto è al tempo
[math]t_1=\frac{\pi}{2\omega}=0.785 \ s[/math]
con pulsazione
[math]\omega=2 \ \frac{rad}{s}[/math]
.
----
In alternativa potevo ragionare con la conservazione dell'energia meccanica?

Mi spiego meglio, al tempo

[math]t_1[/math]
quando la molla è a riposo il blocco si muove a velocità
[math]v_1=v(t_1)[/math]
e il disco ad una velocità
[math]\Omega_1[/math]
, questà è l'energia cinetica finale. Quella iniziale, cioè al tempo
[math]t=0[/math]
l'energia cinetica è nulla in quanto il sistema è fermo e l'energia potenziale è solo elastica, quindi
[math](E_{cf}+U_f)-(E_{ci}+U_i)=0[/math]

Sostituendo trovo
[math](\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I\Omega_1^2)-(\frac{1}{2}k\Delta x^2)=0[/math]

Tenendo conto che
[math]v_1=v(t_1)=\Omega_1 R[/math]
, ricavo (prendendo il segno meno quando si estrae la radice):
[math]v_1=-\Delta x\cdot \sqrt{\frac{k}{M+\frac{1}{2}m}}[/math]

cioè lo stesso risultato svolgendo l'equazione differenziale.
mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Ora e` giusto. Anche la soluzione alternativa va bene, perche' l'attrito che fa rotolare il disco non compie lavoro.

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